2023 Fiscal Year Research-status Report
A study of the structure of inner projections of projective varieties and its applications
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20K03531
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| Research Institution | Yokohama National University |
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Principal Investigator |
野間 淳 横浜国立大学, 大学院環境情報研究院, 教授 (90262401)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 射影多様体 / 線形射影 / 射影埋め込み / 定義方程式 / 斉次イデアル |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は，射影多様体の点線形射影の構造について，一般の線形射影と特殊なものを，不変量などを用いて特徴づけることである．点線形射影が射影多様体とその像の双有理写像を，通常と違い引き起こさないとき，射影の中心点を非双有理中心点と呼び，非双有理中心点の全体であるセグレローカスに注目した．2022年度に引き続き，これまで得られている結果を点検し，定義体の標数pと射影多様体の次数dの間に,p>dの関係がある場合に拡張できるかに重点を置いて研究を行った．セグレローカスを持つ射影多様体の構造の特徴づけとその分類の部分について，一部修正することで，標数0の場合に得られた同様の結果を得ることができた．非特異射影多様体のCastelnuovo-Mumford regularityの上限への応用についても，小平消滅定理が成立する場合には，標数0の場合と同様の結果が成立することを証明することができた．
これまで得られている，射影多様体のセグレローカスの既約成分の個数の上限についての結果と，特異点を持つ場合の射影多様体も含めた線形射影の二重点因子の作る線形系の性質についての結果を，論文として発表した．同様の結果について，情報交換と新たな問題の発見のため，日本数学会で成果を発表した．さらに今年度得られている結果について研究集会を開催して，発表するとともに情報交換を行って広い視点から研究を検討した．
引き続き同様の課題を検討するとともに，さらに検討が必要な線形射影の二重点因子についての正標数の場合の研究と，正標数で標数0の場合と違いが生じる部分に注目する研究は，2024年度の継続研究課題となった．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究目的の達成のため，いくつかの小課題で成果が得られ，現時点でまとめ作業を続けているものがあるが，一部については研究成果として発表できたため．また，予定していた研究打合せと研究交流活動を行うことができたため．実例の計算機代数を用いた計算についてはやや遅れているが，2024年度に引き続き行っていく．
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| Strategy for Future Research Activity |
2024年度の課題となった，線形射影の二重点因子の研究について，これまでの研究を定義体の標数pが射影多様体の次数dに比べて大きな場合に拡張し，それらを成果としてまとめることに重点をおいて進める．並行して，これらを基づくセグレローカスと二重点因子の計算を計算機代数を用いて進める．これまで得られているセグレローカスを持つ射影多様体の例にこれらを適用していく．さらに，考察による実例の構成や文献調査を進める．これらにより得られる結果を，研究集会での情報交換や研究打ち合わせを行って，多角的な視点で研究を進める．研究打ち合わせ等は，直接行うことを予定する．また，研究集会を開催して，より広い視点から研究動向などの情報を集めることにより，研究課題に取り組む．
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| Causes of Carryover |
これまで予定していた研究打ち合わせと情報交換を感染予防ため先送りしていたが，年度を跨ぎずれ込んでいるため．また，予定していた計算による研究の推進が，考察による研究の進捗状況により前後しているため．これらは，２０２４年度に実施していく．研究情報交換は，8月にワークショップ，12月に研究集会を行なって実施する．計算による研究の推進は，他の研究計画との関連を検討しながら今年度前半に実施していく．
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