2021 Fiscal Year Research-status Report
Study of universal families over moduli spaces based on geometry of group actions
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20K03533
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
高村 茂 京都大学, 理学研究科, 准教授 (20362436)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 群作用 / 部分群ポセット / 順序複体 / 準単体複体 / 分岐現象 / モノイド / 部分群積 / コセット積 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
群作用幾何への応用を念頭に置いて、群の「高次構造」を導入し、それを使って新たな幾何的対象を構成した．ここで，「高次構造」は部分群積やコセット積から成り、前者は部分群積ポセットをなし，後者はコセット積ポセットをなす。それぞれ部分群ポセットとコセットポセットを1次の部分として含む。
また、これらはモノイドの構造も合わせ持つ。伝統的には、ポセットに対し順序複体が定義されるが、これは「ポセットのたて方向」の情報を具現化する単体複体である。われわれは「高次構造」の立場から部分群積やコセット積の「分岐」の概念を導入し、分岐の様子から新たな複体（部分群積の分岐複体やコセット積の分岐複体）を導入した．これは「ポセットのよこ方向」の情報を具現化する準単体複体である。この複体は順序複体と補完的な役割を果たすことが期待される．これらの結果をさまざまな分野の4つの研究集会で発表した。
また、平川氏の協力のもと、部分群積およびコセット積の多くの興味深い具体例を見つけることができた。
なお、ポセット・ブローダウンに関する分類定理を示した論文``Blowdown Maps between Subgroup Posets''を出版した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
群の高次構造を導入した後、それらの構成要素である部分群積やコセット積の「分岐」の概念を定義し、新しい幾何的対象（分岐複体）を導入することができた．ここで現れる分岐現象は高次対象(部分群積やコセット積)の導入で初めて意味を持つもので、単に部分群やコセットなどの古典的対象（これらは一次）を見ていてもわからないので、真に新しい知見と言える。この分岐現象は群の中で起こっている力学系的な現象なので、分野横断的な研究対象となることが期待される。また、群の分類空間は群のコホモロジーやベクトル束の分類などに活躍したが、われわれの分岐複体も他分野への応用があればと思う。
群の部分群積やコセット積には関係式があるため，部分群積ポセットやコセット積ポセットは通常のハッセ図ではなく、「関係式付きの」ハッセ図で表される。この観点から``関係式付き''有向グラフという新しい研究視点を持ち込むことができた。
さまざまな研究集会で参加者との討論を通じて疑問点が明確化され、上記の理論の定式化を推し進めることができた。
また、ポセット・ブローダウンに関する分類定理を示した論文``Blowdown Maps between Subgroup Posets''を出版した。
さらに、平川氏と部分群ポセットや群作用の固定部分群ポセットの描画のためのアルゴズムや計算機プログラムについて発展させることができた。これらは今後の計算機実験に役立つと期待される。
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| Strategy for Future Research Activity |
群の分類空間は群のコホモロジーやベクトル束の分類などに活躍したが，今のところ、我々の導入した群の高次構造や分岐複体と他分野との関連ははっきりしない。さまざまな分野の研究集会へ参加し、参加者と討論することで関連性の端緒をつかみたい。
まず手始めに、群の分岐複体のトポロジカルな性質が部分群ポセットのハッセ図の形状をどのように規定しているか調べたい。とくに、分岐複体のホモロジー群の計算を推し進めたい。この計算が進めば、「部分群ポセットがなぜそのような形状なのか」という基本的な問題へ新たな光を当てられるのではないかと期待している。有限アーベル群の場合は，部分群ポセットが同じハッセ図をもつ群のペアがいくらでも存在するが、非可換な有限群の場合は，そのような群のペアはなかなか見つからない。この現象の背景にある理論的な説明を模索しつつ、計算機実験を推し進める予定である。
部分群ポセットやコセットポセットは、群の高次構造の立場からは一次の対象（部分群積ポセットやコセット積ポセットの一次成分）なので、より高次の次数のところまで同型であるような有限群の対にはどのようなものがあるかも考察したい（ジェット同値問題）。
さらに、群に対して構成した高次構造が群作用に対して果たす役割を考察し、リーマン面のモジュライ空間へ応用していきたい．
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| Causes of Carryover |
旅費に余剰が生じた（参加した研究集会がオンライン開催になったため）。これを次年度に行われる研究集会への旅費に回す予定である。
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