2021 Fiscal Year Research-status Report
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20K03535
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| Research Institution | Okayama University |
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Principal Investigator |
早坂 太 岡山大学, 環境生命科学学域, 准教授 (20409460)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 整閉加群 / 正則局所環 / 整閉イデアル / 直既約加群 / 行列式イデアル |
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| Outline of Annual Research Achievements |
昨年度に引き続き、2次元正則局所環上の直既約整閉加群の遍在性に関する研究を行った。これまでの研究で、整閉な単項式イデアルに付随する直既約整閉加群の具体的構成法は得られていた。この構成法を手掛かりに、一般の（単項式イデアルとは限らない）整閉イデアルに付随する直既約整閉加群の構成に取り組んだ。単項式イデアルの場合の結果から、与えられた整閉イデアルに付随する直既約整閉加群で、階数がイデアルの位数よりも小さいものの存在を予想していたが、これを肯定的に証明した。証明（構成法）は、単項式イデアルの場合に得られていた方法を大幅に拡張するものである。昨年度の研究で得られていた「整閉加群とその行列式イデアルのcolengthの差の下限」に着目し、この下限をみたす整閉加群について詳しく調べた結果、与えられた一般の整閉イデアルに付随する整閉加群で、colengthの差が下限に一致するものが同型を除いて一意的に存在することがわかった。この加群を用いることで、上記予想を肯定的に解決したばかりでなく、階数がイデアルの位数に等しい直既約整閉加群の新しいクラスを得た。一方、整閉イデアルに付随する直既約整閉加群で、階数がイデアルの位数に一致するものの存在は一般には言えない。例えば、極大イデアルの2乗を行列式イデアルにもつ整閉加群は、極大イデアル2つの直和に限られる。この例の考察を大幅に一般化することで、階数2または3の直既約整閉加群の行列式イデアルとして現れる整閉イデアルの特徴付けを得た。これらの成果は全てKodiyalam氏と開始した共同研究の中で得られたものである。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
整閉イデアルに付随する直既約整閉加群の存在を当初予想していた理想的な形で得ることができた。さらに、非存在に関する結果も得られ、階数2および3の直既約整閉加群の行列式イデアルとして現れる整閉イデアルを特徴付けることに成功した。得られた成果は2編の論文としてまとめ雑誌に投稿済み・予定である。
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| Strategy for Future Research Activity |
階数4以上の直既約整閉加群の行列式イデアルとして現れる整閉イデアルの特徴付けを与えたい。階数3までの場合と異なり、階数4以上では、直既約でない整閉加群の直和因子は階数1とは限らない。この点が問題を難しくしていると考えられる。そのため、階数3まで手法とは異なる新しいアイディアが必要である。具体的な位数4の整閉単項式イデアルに付随する階数4の整閉加群の計算を詳しく行い、階数4の場合にも通用する手法の手がかりを得ることを目指す。研究は引き続きKodiyalam氏と共同で推進していく。
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| Causes of Carryover |
昨年度に引き続き、参加を予定していた研究集会等が中止になり、そのための旅費を繰り越した。これは次年度における旅費およびオンラインまたはハイブリッド研究集会等への参加・発表で必要となる物品購入に使用する計画である。
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