2023 Fiscal Year Annual Research Report
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20K03535
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| Research Institution | Okayama University |
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Principal Investigator |
早坂 太 岡山大学, 環境生命自然科学学域, 教授 (20409460)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 整閉包 / 加群 / 行列式イデアル / 直既約 / イデアル冪 / 素因子 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2次元正則局所環上の整閉加群に関する研究を行った。昨年度までの研究で、階数2および階数3の直既約整閉加群に付随する行列式イデアルの特徴付けが得られていた。これらの成果は論文として纏め、Kodiyalam氏との共著論文2編として出版・公表した。今年度もKodiyalam氏との共同研究を継続し、階数4の場合の解決に取り組んだ。位数2の単純整閉イデアル二つの積の形をした位数4の整閉イデアルに付随する階数4の整閉加群の存在について考察し、位数4の単項式イデアルで、階数4の直既約整閉加群の行列式イデアルになり得ないイデアルのクラスを見出した。この例の計算過程で、階数と位数が等しい整閉加群の分類可能性を予見し、この方向の研究に着手した。
整閉包研究に関連して、イデアル冪の素因子の挙動に関する研究も行った。イデアル冪の整閉包の素因子の挙動は単調増加かつ漸近安定であることがよく知られている。一方、通常冪の素因子の挙動は漸近安定であるが、冪が小さい部分では単調とは限らない。1983年、Ratliffは通常冪の素因子は一般には制御不可能で、いくらでも複雑な挙動を示すイデアルの存在を洞察し問題として提出した。この問題に対する部分的解答となる例を今村氏との共同研究で構成した。この結果は今村氏との共著論文として纏め、専門誌に投稿・審査中である。Ratliffの問題は最近、Ha-Nguyen-Trung-Trungによって肯定的に解決されたものの、今回構成した例はKrull次元が小さい整域でも、冪の素因子が複雑な挙動を示すイデアルが存在する可能性があることを示唆するものである。
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