2020 Fiscal Year Research-status Report
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20K03536
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| Research Institution | Kyushu Institute of Technology |
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Principal Investigator |
平之内 俊郎 九州工業大学, 大学院工学研究院, 准教授 (30532551)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 類体論 / 類群 / 代数的K群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は p 進体上の曲線の類体論における（古典的なイデアル類群の類似である）「類群」にあたる Abel 群を具体的に計算する、というものであった。この群は研究題目にもある「染川 K 群」をもって記述することができる。この群に関する研究において2020年度では次のような３つの成果を得ることができた。
1. 当初の研究計画のとおり p 進体上の曲線 X に対してそのヤコビ多様体が良通常 (good ordinary) 還元を持つ場合に（適当な仮定なのもとで） X の「類群」の構造を決定した。この論文を完成させ、出版された。
2. 研究計画のとおりバージニア大学 E. Gazaki 氏との共同研究を行い, p 進体上のふたつ以上の楕円曲線に付随する染川 K 群の研究を行った。本研究では（たかだかひとつの）楕円曲線が良超特異 (good supersingular) 還元を持つ場合を考察している。とくに基礎体が有理 p 進体上不分岐である場合に、この群は p 加除的であることが分かった。応用として同じ基礎体に於いて楕円曲線の積に対する Chow 群の構造を調べることができた。またこうした局所的な結果を用いて代数体上の楕円曲線の積に対する Chow 群の構造についての考察を行った。以上の結果を論文としてまとめ、論文を現在投稿中である。
3. 上記 1 で用いた手法を用いて、p 進体上の曲線の積 X に対して、各曲線のヤコビ多様体が良通常還元を持つ場合に X の Albanese 核の構造を決定し、この結果を論文としてまとめた。この結果は定理として既に知られていたものではあるが証明が従来のものとは異なっているため、学内紀要に投稿し出版した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
おおむね研究計画の通りであるが、上記2の共同研究に関する結果を予想よりも早く得ることができた。論文を投稿し、現在査読者とのやりとりを行っている段階なので、2021年度中には完成するものと思われる。またこの研究で行った大域的な理論の考察が今後の発展につながることが期待される。さらに研究計画の2年目以降に行う予定であった楕円曲線の「類群」の上限と下限を与える問題についても、2020年度の間にとりかかることができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
「研究実績の概要」の 2 で書いた共同研究の論文を完成させ、受理されるところまでを2021年度中に行う予定である。また研究計画のとおり楕円曲線が良超特異還元を持つ場合に「類群」の上限と下限をあたえる問題について考察し、論文を書くところまでを2021年度中に行う予定である。
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| Causes of Carryover |
今年度は出張・招聘がまったくできなかったため当初旅費・人件費としていて予定していた分が次年度使用額として生じた。使用計画としては（可能であれば）旅費・人件費また物品費に充てる予定。
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