2020 Fiscal Year Research-status Report
Development of a brand-new computer algebra system using Julia language and its application
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20K03537
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
横山 俊一 東京都立大学, 理学研究科, 准教授 (90741413)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 計算機数論 / Julia 言語 / 保型形式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
(1) 代数的保型形式における Suzuki-Wakatsuki の平均値定理の整合性検証、とくにスカラパートの決定と数値誤差改善に関する大規模計算実験を行った。L 関数の特殊値や Dedekind Zeta 関数処理のスクラッチ化を行うことにより、optimal embedding の決定精度やボトルネック計算効率の向上に貢献した。また同様の実験を Ramanujan Delta 形式（古典的保型形式）についても行った。ここでは Ramanujan's tau の Fourier 係数の高速計算アルゴリズムを用いて、10^8 order のデータを得ることができた。数式処理システムは Magma, Sage および Julia テスト環境の3つを用いた。本件は鈴木美裕氏、若槻聡氏との共同研究であり、現在投稿中（プレプリント）であるため、論文発表としては次年度に行う。
(2) 新しい高水準言語 Julia を用いた数式処理システム Nemo/Hecke のパッケージ開発において、楕円曲線と局所体におけるコア演算の最適化に取り組んだ。とくに Mordell-Weil 群の計算や、特定の分岐をもつ局所拡大体の高速同型判定アルゴリズムを扱った。後者に関しては再帰的足し込み演算のパートを Julia のリスト構造に適した形で改変し、データサイズ削減にも成功している。これと並行して、計算代数システム Magma を用いた独自実装の Julia 環境への移植作業を行った。
(3) 最後に社会貢献活動の一環として、本研究課題のメインテーマである Julia 言語の啓蒙記事（主として非専門家向け）を執筆し、掲載された。また (1) の研究に関連して、保型形式の計算理論に関する記事（やや専門家を意識したもの）を執筆し、掲載された。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度は情勢により、海外滞在による国際研究交流は断念したが、当初の開発計画の初年次計画はすべて達成した。またそれ以外にも、代数的保型形式の平均値定理に関する大規模計算を行い、共同研究として成果が挙げられた。とくに後者については、まだ最適化・高速化の余地が残されており、さらに Julia 言語環境に即したアルゴリズムの開発を通して劇的なパフォーマンス改善が期待される。次年度も引き続き、この話題について取り組んでいく予定である。
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| Strategy for Future Research Activity |
代数的保型形式の平均値定理に関する数値計算精度をより高めるため、現在用いているリスト処理機構を Julia 環境に最適化した形で実装する。また計算対象とする保型形式のクラスをより拡充するための手法について研究を行う。
一方、実装に関する新たなトピックとして、耐量子計算機暗号におけるデジタル署名アルゴリズム開発とその高速・効率実装を開始する。本件に関する詳細は、次年度の成果報告にて述べる。
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| Causes of Carryover |
2020年度の情勢により、海外・国内の出張をすべて中止せざるを得なかったため、旅費としての使用を全く行わなかったことが原因である。また、研究期間の後半においてやや大規模な計算を実行できるワークステーションの導入が必須と考えられるため、積み立てを行う意味でも繰り越しの処理を行う必要があると考えている。
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