分岐被覆と偏極アーベル多様体の幾何による周期写像の研究

2020 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 20K03543
• Research Institution: Tokyo Denki University
• Principal Investigator: 池田 京司 東京電機大学, 工学部, 教授 (40397617)
• Project Period (FY): 2020-04-01 – 2025-03-31
• Keywords: プリム多様体 / 分岐被覆 / ガウス写像 / テータ関数

Outline of Annual Research Achievements

代数曲線の分岐被覆に対し、プリム多様体と呼ばれる偏極アーベル多様体が定義される。令和２年度はプリム多様体の周期行列が定めるテータ関数の性質について研究を進めた。
代数曲線の２重被覆のプリム多様体の周期行列に対し、その指標付きテータ関数の零での値（テータ定数）が零になるための条件を記述し、２重被覆のプリム多様体に対するテータ関数は、一般の偏極アーベル多様体に比べて多くのテータ定数が零になっていることを確かめた。次に、逆に多くのテータ定数が零となるような偏極アーベル多様体がプリム多様体として実現可能であること示すことを課題として研究を進めた。これは、どのテータ定数が零となるかによって、主偏極アーベル多様体の中から超楕円曲線のヤコビ多様体を特徴づけたMumfordによる古典的結果の類似となる。Mumfordはこの問題に対し可積分系を用いたアイデアを用いており，同じアイデアがプリム多様体の特徴づけに適用できるかの検証を進めた。Mumfordは超楕円曲線のヤコビ多様体からテータ因子を除いた部分を、ある条件を満たす多項式の組の空間として表現しているが、同様のことが楕円曲線の２重被覆のプリム多様体についても可能であることを確かめた。我々が考えているプリム多様体は主偏極アーベル多様体ではないため、本来テータ因子は一意的には定まらないが、偏極を定める豊富因子の線形系から特別な幾何学的性質をもつものを選ぶことができ、プリム多様体からその因子を除いた部分をMumfordと同様の形式で表示できることを示した。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

令和２年度から令和４年度までは、代数曲線の分岐２重被覆についてプリム写像の単射性とプリム写像の像の特徴づけについての研究を進めることを計画しており、令和２年度はプリム写像の像の特徴づけを中心に研究を進め、結果を論文にまとめる予定であった。期待される結果ある程度定式化することができたが、現時点では証明の途中の段階となっており完成はしていない。

Strategy for Future Research Activity

令和３年度は、前年度までにできなかった楕円曲線の２重被覆のプリム写像の像の特徴づけの問題についての結果の証明を完成させる。
その後、一般の代数曲線の２重被覆のプリム多様体について、テータ因子のガウス写像の分岐因子を解析する手法により、プリム写像の単射性の問題の解決に向けて当初の計画通り研究を進める。

Causes of Carryover

感染症流行のため研究集会を開催できず、旅費、謝金等の使用がなかったため次年度使用額が生じた。
次年度使用額は、研究に関する情報収集のため研究資料の購入に使用する計画である。