Research on the algebraic-geometric codes based on adelic vector bundles

2021 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 20K03544
• Research Institution: Japan Women's University
• Principal Investigator: 中島 徹 日本女子大学, 理学部, 教授 (20244410)
• Project Period (FY): 2020-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: 代数幾何符号 / ベクトル束 / adelic曲線

Outline of Annual Research Achievements

当研究の目的はadelic束から定義される代数幾何符号の諸性質を解明することである. 今年度に於いては偏極多様体型adelic符号(即ち有限体上の代数多様体とその上のベクトル束から定まるadelic符号)に関して研究を行い、以下の様な結果を得た.
第一に、曲線上のファイバー構造をもつ任意次元の代数多様体上の直線束Lから定まる符号の最小距離について考察し、その下からの評価をLの順像のasymptotic minimal slopeを用いて与えることに成功した。この評価式は、Fulger-村山によって得られた正標数でのnef因子の存在定理を応用して証明される. この結果の応用として、前年度に於ける研究で得られたGrasssmann束から定まる符号に対するパラメーターの評価式を必ずしもp-安定とは限らないベクトル束の場合にまで一般化することが可能になった. 更に、旗束や射影束内の超曲面から得られる符号に対してもパラメーターの具体的評価式を得た.
第二に、曲線上の高階のベクトル束から定義される符号を用いて漸近的に良い性質をもつ符号列を構成した。これは、情報率と相対最小距離が共に正の値に収束する様な符号の無限列の存在を主張している. この結果の証明には、弱安定束から定まる符号のパラメーターの評価式と弱安定束の存在定理およびGarcia-Stichtenothによる曲線族が用いられる。この様な漸近的に良い符号列の存在は、符号理論に於いて直線束のみならず高階のベクトル束まで考慮することの意義を示唆するものである.

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

今年度得られた結果は、ファイバー構造を利用することによって高次元の代数多様体上のベクトル束から定義される符号の性質を曲線上の場合に還元して調べることを可能にするものである. また、従来のベクトル束に対するp-安定性の条件がasymptotic minimal slopeの使用によって不要になったことで符号のパラメーターの評価が容易になるため、今後のadelic符号の研究が大きく進展することが期待される.
上述の理由により、現在までのところおおむね当研究は順調に進展していると考えられる.

Strategy for Future Research Activity

今年度では、偏極多様体型のadelic符号のパラメーターをファイバー構造をもつ多様体の場合に評価することができた. 今後はベクトル束にp-安定性の条件を付けずにasymptotic minimal slopeを用いて一般の型のadelic符号に対するパラメーターの評価式を求めて行きたい. 更に得られた評価を用いて漸近的に良いadelic符号の列を高次元の場合に構成し、従来より性能の高い符号が得られるかどうかを検証する予定である.

Causes of Carryover

(理由)
当初対面での開催が予定されていた学会がコロナ感染予防のためすべてオンライン形式での開催方式に変更されたため、使用できなかった出張費を次年度に繰り越すことになった.
(使用計画)
令和4年度は国内の研究集会や学会の対面での開催が見込まれるため、繰り越した予算は大部分を国内出張費に充て、残りを研究関連の図書費として使用する予定である.