2022 Fiscal Year Research-status Report
Research on the algebraic-geometric codes based on adelic vector bundles
| Project/Area Number |
20K03544
|
|---|
| Research Institution | Japan Women's University |
|---|
Principal Investigator |
中島 徹 日本女子大学, 理学部, 教授 (20244410)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
|
| Keywords | 代数幾何符号 / ベクトル束 / adelic曲線 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
当研究の課題はadelic曲線によって定義される代数幾何符号の性質を解明することである。今年度に於いては、主にファイバー構造を持つ代数多様体とその上の直線束から定まる符号を考察し、以下の様な研究成果を得た。
第一に、曲線上のベクトル束Eに付随した射影束P(E)内の二次超曲面束から定まる符号について研究をおこない、その最小距離に対してEのasymptotic minimal slopeを用いた下からの評価式を得ることができた。特に曲線の種数が1以下の場合には、この評価式をEの既約分解のデータによって具体的に計算することに成功した。この結果は、以前にEがp-半安定と仮定して得られた結果を任意のベクトル束に一般化するものとなっている。
第二に、曲線上のアーベリアンスキーム(即ちアーベル多様体をファイバーとするsmoothなファイバー構造を持つ群スキーム)から定まる符号を考察し、適当なnef直線束の存在を仮定して符号の最小距離の下からの具体的評価式を得た。特にファイバーがアーベル曲面の場合には、Aubry達による因子の有理点に関する最近の結果を用いて曲面のトレースによる新しいタイプの最小距離の評価式を得ることにも成功した。
第三に、標数0の閉体上定義されたn次元非特異射影多様体上の安定層のn-1次コホモロジー群の次元に対する上からの評価式を得た。これは以前に研究代表者が3次元の場合に得た結果を高次元に拡張するものである。また、この結果を用いて4次元射影多様体上の安定層の4次チャーン類の上限を与えるBogomolov-Gieseker型不等式を導くことができた。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度の研究では、ファイバー構造を持つ代数多様体から定まる符号に関して前年度の研究を更に発展させることができた。特に種数が1以下という仮定の下ではあるが曲線上のベクトル束のasymptotic minimal slopeを具体的に計算できたことによって従来より精密な最小距離の評価が得られたことは大きな成果であると思われる。また、アーベリアンスキームの群構造を符号のパラメーターの評価に応用できたことは今後の研究に重要な役割を果たす可能性がある。更に、標数0の基礎体の場合に限定されているものの安定層のチャーン類に対するBogomolov-Gieseker型不等式が証明できたことによって、今後偏極多様体型のadelic符号のパラメーターの満たす限界式を求めることが可能になるのではないかと期待される。
|
| Strategy for Future Research Activity |
今年度の研究により、曲線上のベクトル束のasymptotic minimal slopeの具体的計算をおこなうための手がかりを得ることができた。今後は更に種数の高い曲線の場合にasymptotic minimal slopeの計算法を確立して、ファイバー構造を持った偏極多様体型のadelic符号の一般的性質を明らかにしてゆきたい。また、アーベル多様体の群構造と符号の関係について今年度より詳細な研究をおこなう予定である。更に、今年度に於いて証明したBogomolov-Gieseker型不等式を正標数の場合に拡張することにより、偏極多様体型のadelic符号のパラメーターに関する限界式を導くことを計画している。
|
| Causes of Carryover |
(理由)
令和3年度に於いては、当初計画していた対面での研究集会の幾つかで参加を取りやめた結果、旅費に使用する計画だった予算を次年度に繰り越すこととなった。
(使用計画)
今年度は研究の最終年度であるので、繰越分の予算は当研究で得られた結果をまとめた発表を行うための出張費等に充当したい。また繰越分以外の予算については、研究関連図書の購入や研究打ち合わせのための旅費、通信費等に使用する予定である。
|
