2020 Fiscal Year Research-status Report
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20K03545
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| Research Institution | Tokyo City University |
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Principal Investigator |
服部 新 東京都市大学, 理工学部, 准教授 (10451436)
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2020-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | Drinfeld保型形式 / 傾斜 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
標数pの有限体F_qと，F_q上の一変数関数体F_q(t)を考える．Drinfeld保型形式とは，楕円保型形式のF_q(t)における類似である．PをF_q[t]の素元とする．楕円保型形式のp進理論が高度に発展してきたのに対し，Drinfeld保型形式にもそれに匹敵するP進理論が存在すると期待されているが，まだその全容は明らかになっていない．一方で，数値計算によりDrinfeld保型形式のP進的性質に関する多くの興味深い現象が報告されており，それらの理論的な裏付けが急務である．本研究の目的は，数値計算が示唆するDrinfeld保型形式のP進的諸現象を証明することにある．
2020年度はDrinfeld保型形式の肥田族に関する研究を行い，レベルΓ_1(t^r)の通常Drinfeld保型形式に任意のHecke作用素が自明に作用することを示した．この「肥田族の自明性」は，r=1の場合には私が以前の研究で証明しており，rが一般の場合での成立が数値計算によって予想されていたことである．また，Drinfeld保型形式では「Hecke固有値がHecke固有形式を定数倍を除いて決める」という弱重複度１定理が成立しないことは以前から知られており，1980年代にGekelerが「重さを固定したときにこの性質が成り立つか」という問いを提出していたが，「自明性」の帰結として，この問いに対する否定的な回答を与えた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
新型コロナウイルス感染拡大に伴い予定していた海外の研究者との研究討論や情報収集は延期せざるを得なかったが，以前からの懸案だった肥田族の自明性を証明できた．これらの点を総合して，「おおむね順調に進展している」と判断した．
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| Strategy for Future Research Activity |
当初の研究計画通り，2021年度は円環留数の理論を構築し，その応用としてDrinfeld新形式・旧形式のP進的性質を明らかにする研究を行う．特に，新形式・旧形式の適切な定義を行い，傾斜の評価を示すことを目標とする．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス感染拡大により，予定していた海外・国内出張を延期したため，次年度使用額が生じた．この分は2021年度以降，新型コロナウイルスの感染が終息し，出張が可能な状況になり次第使用する．
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