2023 Fiscal Year Annual Research Report
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20K03545
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| Research Institution | Tokyo City University |
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Principal Investigator |
服部 新 東京都市大学, 理工学部, 准教授 (10451436)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | Drinfeld保型形式 / 傾斜 / D楕円層 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は前年度に得ていたD楕円層とCarlitz指標との関係の応用として，D楕円層のモジュライ空間であるDrinfeld-Stuhler曲線を用いてHasse原理の反例を構成した（新井啓介，近藤智，Mihran Papikianとの共同研究）．Hasse原理の反例とは大域体上の射影的多様体で，すべての素点において局所的有理点を持つが大域的有理点を持たないようなもののことである．本研究では，有理関数体の二次拡大体の明示的無限族で，その体上でDrinfeld-Stuhler曲線がHasse原理の反例を与えるもの，を構成した．
代数体上のJacquet-Langlands対応の類似はDrinfeld保型形式の文脈では知られていないが，いくつかの状況証拠は挙げられている．Drinfeld保型形式にJacquet-Langlands対応する関数はDrinfeld-Stuhler曲線上の何らかの線束の切断であると考えられ，理想的にはDrinfeld-Stuhler曲線の側に移行することでDrinfeld保型形式の諸性質の解明が容易になるはずである．本研究で整備したD楕円層の諸性質がこの謎の対応の解明に役立つものと期待される．
研究期間全体を通して得られた成果について説明する．最も大きなものは，レベルΓ1(t^r)のDrinfeld尖点形式の通常部分にすべてのHecke作用素が自明に作用することを証明したもので，これは1980年代のGekelerの問いに対する否定的回答であり，学術誌から出版された．また，Drinfeld旧形式に現れない傾斜が(k-2)/2であることや，適切なレベル構造付きDrinfeld加群の自己双対性など，Drinfeld保型形式の傾斜の上限予想の解決に向けた補助的な結果をいくつか証明した．最後に，D楕円層の数論的性質を証明し，Hasse原理の反例を与えた．
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