2021 Fiscal Year Research-status Report
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20K03549
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| Research Institution | National Institute of Technology, Toyota College |
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Principal Investigator |
吉澤 毅 豊田工業高等専門学校, 一般学科, 准教授 (00636194)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | セール部分圏 / ねじれ理論 / 局所コホモロジー加群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
令和3年度は下記の研究成果を得た。(1)-(4)の結果は、2編の論文として学術論文雑誌に投稿中である（備考欄参照）。
セール部分圏の解析に関する研究成果として、(1)セール部分圏で連結したねじれ対の概念を加群圏からアーベル圏に抽象化し、「Heartで連結したねじれ対の概念」を与えることに成功した。
抽象化の目的は、次の二つの概念の関係性を調べることにある。一つ目は、傾理論で扱われる「（通常のねじれ対の）ねじれ部分の区間に対するHeart」。もう一つは、局所コホモロジー論と相性が良いメルカーソン条件を特徴づける「セール部分圏による連結ねじれ対」である。この二つの概念の関係性は、令和2年度の時点ではほぼ未解明であり、それぞれを独立して研究する必要があった。令和3年度では、この問題を解消する成果として、(2)「一見して無関係に見える上記の二つの概念は、Heartで連結したねじれ対の概念を用いて記述が可能である」という事実を発見した。特に、「ねじれ部分の区間に対するHeartおよびセール部分圏は、Heartで連結したねじれ対のHeartの部分として実現が可能である」ということを証明した。
次に、部分圏の分類を局所コホモロジー論へ応用するという研究目的に関して述べる。令和3年度では、前年度の局所コホモロジー加群のannihilatorに関する結果の改良に取り組んだ。その成果として、(3)「一般の環において、局所コホモロジー加群のイデアルの選び方に依存しないannihilatorの存在性は、（髙橋氏により定義された）環の素イデアルの集合上の非負整数値関数を用いて完全に記述ができる」という事実を発見した。その副産物として、昨年度の成果における「環の次元の有限性」の条件を取り除くという形で、(4) 「加群のCM次元によるannihilatorの存在性の特徴づけの改良版」を与えた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
現在までの研究として、メルカーソン条件と関係のある「セール部分圏による連結ねじれ対」をアーベル圏での理論へと抽象化した。抽象化による結果として、傾理論でも用いられる「ねじれ部分の区間に対するHeart」との関連付けに成功した。この関連付けにより、本研究の新たな方向性（連結ねじれ対と傾理論の関係性の研究）を得ることができた点と、傾理論での結果を連結ねじれ対の理論に応用ができる可能性を見いだすことができた点は、大きな前進であると考える。
一方、部分圏の分類に関する結果を局所コホモロジー論へ応用することは、本研究のもう一つの目的である。イデアルの選び方に依存しない局所コホモロジー加群のannihilatorの存在性を、整数値関数の値で完全に特徴づけることができた点は、研究方針の正当性についてより強く主張ができる根拠を与えることができたといえる。
以上の研究成果を踏まえ、進捗状況としてはおおむね順調に進展していると考える。
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| Strategy for Future Research Activity |
令和3年度の研究では、当初の研究目的の一つである「メルカーソン部分圏の分類」に関連した部分まで考察をすることができなかった。今後は、この点に関して深く考察を行う。
また、連結ねじれ対を実現できる特殊化で閉じた部分集合の十分条件およびその具体的な構造に関しては、令和2年度の段階から未解明のままであるため、引き続き研究を推し進める。
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| Causes of Carryover |
申請時における科研費の主な使用目的は、「学会等において研究発表を行うための旅費」や「研究の助言を受けるための研究者の訪問に関する旅費」であった。
しかしながら、令和2年度に引き続き、新型コロナウイルス感染症の影響により多くの研究集会が中止またはオンライン開催に変更された。また、研究者の訪問に関しても困難な状況が続いている。そのため、予定をしていた旅費使用額には至らなかった。
令和4年度も同じような状況が続く場合、オンラインでの発表に使用する機材調達に関する物品費、参考文献に関する複写費、および図書購入費などにも使用する予定である。
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| Remarks |
【投稿中の論文, 単著2編】
[1]Annihilators of local cohomology modules via a classification theorem of the dominant resolving subcategories.
[2]Torsion theories connected by a heart and hearts of intervals.
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