2021 Fiscal Year Research-status Report

Study on relationship among ring theoretic invariants for non Cohen-Macaulay rings

Research Project

Project/Area Number	20K03550
Research Institution	Kitami Institute of Technology
Principal Investigator	松田一徳北見工業大学, 工学部, 准教授 (20633241)
Project Period (FY)	2020-04-01 – 2024-03-31
Keywords	誘導マッチング数 / 最小マッチング数 / マッチング数 / エッジイデアル / Castelnuovo-Mumford正則度 / 次元 / Coq / 形式化
Outline of Annual Research Achievements	令和３年度における研究実績は以下の通りである。 (1) 誘導マッチング数・最小マッチング数・マッチング数は、いずれもグラフのマッチングに由来する不変量であり、これら３種の不変量の相互関係については既に解明されている。研究代表者は自身の卒業研究生の吉田裕一氏との共同研究において、これらにグラフの頂点数を加えた４種の不変量の相互関係を解明した。この結果を応用して、エッジイデアルによる剰余環に対し、４種の不変量(グラフの頂点数・Castelnuovo-Mumford 正則度・最小マッチング数・マッチング数)の相互関係を解明することができた。これらの結果を論文 "On the three graph invariants related to matching of finite simple graphs" にまとめた。論文は現在投稿中である。 (2) 研究代表者は以前、誘導マッチング数・最小マッチング数・マッチング数にエッジイデアルによる剰余環の次元を加えた４種の不変量の相互関係を解明した(当時の卒業研究生の平野文菜氏との共同研究。この研究成果をまとめた論文 "Matching numbers and dimension of edge ideals" は2021年に Graphs and Combinatorics より出版された)。この結果の Coq による形式化を、才川隆文氏(名古屋大学)と共同で進めた。形式化は主に才川氏が行い、研究代表者はいくつかの補題に対し、形式化し易いと思われる証明を考えた。このプロジェクトは完了しておらず、現在も進行中である。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason エッジイデアルの環論的不変量の相互関係を調べることは、本研究課題の研究目的の一つであるが、環論的不変量であるエッジイデアルによる剰余環の Castelnuovo-Mumford 正則度と、グラフ理論的不変量である頂点数・最小マッチング数・マッチング数との相互関係を解明することができた。さらに、この研究成果から新たな研究課題が生まれた。また、「定理証明支援系 Coq による形式化」という、本研究課題の申請時には想定していなかった新たなプロジェクトを開始することができた。これらを踏まえ、「おおむね順調に進展している」と評価する。
Strategy for Future Research Activity	引き続き、エッジイデアルの環論的不変量の相互関係を調べていく。令和２年度における研究では、h多項式の次数やextremal ベッチ数の個数については取り扱わなかったため、今後はこれらの不変量についても研究を進めていきたい。また、環論的不変量のみならず、グラフ理論的不変量との相互関係についても研究を進めていきたい。
Causes of Carryover	コロナ禍の影響で、令和３年度も出張を取りやめることになり、旅費を使用しなかったため。使用できなかった旅費は令和４年度以降の出張で用いる。今後は対面での研究打ち合わせ・研究集会参加が可能となることを願いたい。