2020 Fiscal Year Research-status Report
Hopf-Galois theory applied to supergeometry
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20K03552
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
増岡 彰 筑波大学, 数理物質系, 教授 (50229366)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | スーパー代数群 / スーパー・スキーム |
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| Outline of Annual Research Achievements |
群 G が集合 X に作用しているとき、G-軌道全体から成る集合 X/G が得られる。この初等的事実を、代数幾何学のコンテクストで論じた理論が「幾何学的不変式論」、いわゆる GIT である。研究代表者は当該年度、GIT をスーパー対称性の幾何学において研究し、とくに次の定理(1)、(2)を証明した。(1)対応定理：スーパー代数群 G に対するスーパー・トーサー全体と、G に付随する代数群に対する、通常のトーサー全体とが１対１に対応する。(2)還元定理：スーパー代数群 G がスーパー・スキーム X に自由に作用するとき、fppf 商層 X/G がスーパー・スキームか否かは、それに付随する、通常の（自明な）対称性下にある対応物を見ればわかる。
アフィン（スーパー）トーサーはちょうど、ホップ・ガロア拡大と対応する。実際、上の結果を証明するのに、ホップ・ガロア理論を大いに応用した。また、上の結果を含む論文を、Torsors in super-symmetry（大江拓哉と共著）arXiv: 2101.03461として発表した。
研究代表者の長年の、また本研究課題の目標として、線形微分方程式のガロア理論（Picard-Vessiot理論）をスーパー対称性のコンテクストに一般化することがある。上記の結果を含む当該年度の研究成果により、この目標を達成する準備が整ったように思う。Torsors in super-symmetry（大江拓哉と共著）arXiv: 2101.03461として発表した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当該年度の研究成果により、本研究課題の１つの目的「線形微分方程式のガロア理論（Picard-Vessiot理論）をスーパー対称性のコンテクストに一般化する」を実現する準備が整ったように思われる。
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでの研究成果をフルに応用して、線形微分方程式のガロア理論（Picard-Vessiot理論）をスーパー対称性のコンテクストに一般化する。
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| Causes of Carryover |
コロナ禍により、予定していた出張が実現できず、余剰が生じた。次年度にこれを実現する目的で、使用したい。
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