2021 Fiscal Year Research-status Report
Hopf-Galois theory applied to supergeometry
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20K03552
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
増岡 彰 筑波大学, 数理物質系, 教授 (50229366)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | ホップ・ガロア拡大 / スーパー・トーサー / スーパー主束 / スーパー・ピカール-ヴェシオ理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ベクトル空間全体は，通常のテンソル積と自明な対称性により対称テンソル圏を成す。これを一般化して、位数２の有限群による次数付けをもつベクトル空間は、いわゆるスーパー対称性により対称テンソル圏を成す。この圏において定義されるアフィン群、ホップ代数は、それぞれスーパー・アフィン群、スーパー・ホップ代数と呼ばれるが、前者が可換なスーパー・ホップ代数と圏論的に対応することは、通常の状況におけるのと同様である。Deligne (2002)によれば、標数零の代数閉体上においては、対称テンソル圏とスーパー・アフィン群の表現圏はほぼ同義語であるから、スーパー・アフィン群は十分な一般性をもった研究対象である。
本研究課題は、（アフィンと限らない、また解析的なものも含めた）スーパー群について、対応する可換なスーパー・ホップ代数に対するガロア拡大（それは代数幾何学におけるトーサー、微分幾何学における主束の代数的対応物）を通して研究しようというものである。当該年度においては次の３つの研究成果を得た。
(1) 標数が２と異なる体上、滑らかなアフィン・スーパー代数群 G と滑らかなネーター的アフィン・スーパー・スキーム Y に対し、Y 上の G-スーパー・トーサーは、付随する通常のトーサーの持ち上げとして一意的に表される。
(2) G を(1)の通りとする。この G が、滑らかな局所ネーター的スーパー・スキームに自由に作用しているとすると、自然な仮定のもと、商層 X/G は滑らかな局所ネーター的スーパー・スキームになる。
(3) (1) の微分幾何学的類似が成り立つ。すなわち、実数体上、可微分スーパー主束は、付随する通常の主束の持ち上げとして一意的に表される。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
新型コロナウイルス感染症拡大の影響と、所属機関における業務の多忙さのため、研究の詰めと成果の公表が遅れている。
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| Strategy for Future Research Activity |
これまで得た研究成果によって、本研究の1つの目標であった、微分方程式のガロア理論、すなわちピカール-ヴェシオ理論をスーパー対称性のコンテストへと一般化する準備が整った。
新型コロナウイルス感染症拡大の終息を期待して、出張により、またオンラインによる新しい研究形態も利用して、この一般化を実行する。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス感染症拡大の影響と、所属機関における業務の多忙さのため、出張がままならなかった。
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