Algebraic and analytic study on exponential equations related to Fermat's equation

2023 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 20K03553
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 11010:Algebra-related
• Research Institution: Gunma University
• Principal Investigator: Miyazaki Takafumi 群馬大学, 大学院理工学府, 准教授 (20706725)
• Project Period (FY): 2020-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: 指数型不定方程式 / 単数方程式 / ピライ型方程式 / Bakerの手法 / 部分空間定理

Outline of Final Research Achievements

For relatively prime positive integers A,B and C all greater than 1, I studied general estimates of the number of solutions (x,y,z) to the purely exponential Diophantine equation A^x+B^y=C^z, and I obtained some results. In the first year, I proved that there are at most 2 solutions to the equation, except for the case {A,B}={3,5} and C=2. This is regarded to be best possible. In the remaining years, I considered the problem of determining all cases with exactly two solutions, especially when fixing the value of C. In this direction, while the only known result so far was the result solving the case of C=2 by R. Scott (1993), I solved the problem for infinitely many values of C including 2.

Free Research Field

整数論、不定方程式

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

現れる素因数の種類が始めから有限個に限定されている整数たちの間に成り立つ線形関係式は、整数論においてよく現れ、単数方程式と称される。本研究では、最も単純な単数方程式のいくつかを考察し、その解の個数の最良評価の研究に従事した。得られた研究成果は、「単数方程式は一般に解を持たない」という非常に重要な命題を支持するのものである。特に、1より大のどの二つも互いに素な自然数a,b,cに対し、方程式a^x+b^y=c^zの自然数解は、(a,b,c)=(3,5,2), (5,3,2)の場合を除いて、高々二つであることを証明して、この方程式の解の個数の最良評価を確立した。