2020 Fiscal Year Research-status Report

Kirillov-Reshetikhin加群の結晶基底

Research Project

Project/Area Number	20K03554
Research Institution	Tokyo University of Agriculture and Technology
Principal Investigator	直井克之東京農工大学, 工学(系)研究科(研究院), 准教授 (40647898)
Project Period (FY)	2020-04-01 – 2024-03-31
Keywords	拡大量子アフィンSchur-Weyl双対性 / 箙Hecke代数 / 量子アフィン代数
Outline of Annual Research Achievements	Hernandez-Leclerc部分圏と呼ばれる量子アフィン代数の有限次元加群の圏の充満部分圏と, 箙Hecke代数の有限次元加群の圏の間には, Kang-Kashiwara-Kimにより定義された拡大量子アフィンSchur-Weyl双対性関手と呼ばれる関手が定義されていた。本年度は, 一般の量子アフィン代数に対し, この関手が二つの圏の間の同値を与える, という事実を証明した。これは, 非捩れADE型の場合には藤田遼氏により箙多様体の幾何的表現論を用いて証明されていたが, 一般の場合では未証明であり, Kang-Kashiwara-Kim, およびKashiwara-Ohにより一般のばあいでも成り立つことが予想されていた重要な命題であった。さらにその証明の中では, Schur代数の一般化とみなせる興味深い代数の考察を行っている。今後さらにこの代数について, その定義関係式などを詳しく研究していきたいと考えている。 Kang-Kashiwara-Kim-Ohでは, 拡大量子アフィンSchur-Weyl双対性関手を用いて, 任意のKirillov-Reshetikhin加群を含むような非常に大きな量子アフィン代数の有限次元加群の圏の部分圏に関する研究を行っている。そのため, Kirillov-Reshetikhin加群の研究についても, 本研究の結果が何らかの応用を持っているのではないか, と期待している。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 1: Research has progressed more than it was originally planned. Reason 一般の量子アフィン代数に対し, 拡大量子アフィンSchur-Weyl双対性関手が同値を与えるという事実は, 量子アフィン代数と箙Hecke代数という重要な二つの代数の有限次元加群の圏の間の興味深い関係を明らかにしており, そのような予想を証明したことは意義の大きいことであると考えている。
Strategy for Future Research Activity	本年度予想を証明する中で自然に現れた, Schur代数の一般化として得られる代数について, さらに考察を行っていく。また, Kang-Kashiwara-Kim-Ohによる結果を用いて, Kirillov-Reshetikhin加群の研究も併せて行っていきたいと考えている。
Causes of Carryover	新型コロナウイルスの蔓延により, 旅費の執行が困難であったため。翌年度は物品の購入に充てるとともに, 感染の終息が期待されるため旅費にも積極的に使用してくことを計画している。