2021 Fiscal Year Research-status Report
Kirillov-Reshetikhin加群の結晶基底
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20K03554
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| Research Institution | Tokyo University of Agriculture and Technology |
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Principal Investigator |
直井 克之 東京農工大学, 工学(系)研究科(研究院), 准教授 (40647898)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 量子アフィン代数 / 箙Hecke代数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
昨年度得られた一般化量子アフィンSchur-Weyl双対性関手の同値性の証明に関する結果を 論文にまとめ, 雑誌Advances in Mathematicsに投稿した。アクセプトされ, 既に出版済である。また同時に, 二つの国際研究集会を含むいくつかの研究集会において本研究結果について周知を行った。
本年度はこの圏同値に関する結果の一般化, という問題に取り組んだ。上で述べた圏同値を与える双対性関手は, 基本表現と呼ばれる特別な既約加群の族から構成されている。一方で近年のKashiwara-Kim-Oh-Parkの結果により, 基本表現が持つ性質の多くは, 完全双対データと呼ばれるより一般の既約加群の族で同様に満たされることが分かってきた。
このことから, 同じ圏同値の結果がすべての完全双対データの場合に対して成り立つ, と期待するのは自然なことである。またこれが証明できれば, これまで知られていなかった多くの重要な量子アフィン代数の部分加群圏を得ることができるため, 非常に重要である。
本年度はこの一般化の問題に関して, 様々な観点から考察・検証を行った。一つは幾何学的表現論的な観点である。他方, 団代数的な観点でも考察・検証を行った。量子アフィン代数と箙Hecke代数の加群圏はともに団代数的な構造を持っており, さらに一般化量子アフィンSchur-Weyl双対性関手はこの構造を（適切な意味で）保つことが知られている。この団代数的な構造を用いることで問題の解決により近づけると期待している。今のところ具体的な結果が得られているわけではないが, これらの考察により問題の整理はある程度なされたと感じている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
コロナ感染の広がりにより, 研究打ち合わせなどができなかったことが研究の進展を阻害した面は否めないが, その中でも新たな重要と思われる問題を見つけ, さらに問題の整理がなされたことを考えると, おおむね順調に進展しているといってよいかと思う。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後も引き続き, 一般の完全双対データから得られる一般化量子アフィンSchur-Weyl双対性関手が, 箙Hecke代数の有限次元加群圏と対応する量子アフィン代数の加群圏の間の圏同値を与えるか, という問題について研究を行っていこうと考えている。その際, Kashiwara-Kim-Oh-Parkにより得られた団代数的な構造と関連する量子アフィン代数の加群の不変量に着目することが, 問題の解決の糸口となると期待している。
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| Causes of Carryover |
コロナ感染症の流行により, 予定していた多くの研究集会がオンライン開催となり, 旅費の出費が予定より大幅に少なくなったため。次年度以降は感染症の流行が落ち着くにつれ, 研究集会も対面での開催が少しずつ再開されていくと期待しており, その旅費に充てたいと考えている。
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