対数アーベル多様体の幾何とモジュライ空間

2020 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 20K03555
• Research Institution: Yokohama National University
• Principal Investigator: 梶原 健 横浜国立大学, 大学院工学研究院, 教授 (00250663)
• Project Period (FY): 2020-04-01 – 2025-03-31
• Keywords: 対数構造 / 退化多様体 / アーベル多様体

Outline of Annual Research Achievements

本研究では、アーベル多様体のモジュライ空間において、適切な退化対象を対数幾何学のなかに見い出し、対数アーベル多様体論を構築して、この方面の研究に応用することを目指している。対数アーベル多様体に関する本研究は、加藤和也氏（シカゴ大学、米国）、中山能力氏（一橋大学）との共同研究である。
本年度は、対数アーベル多様体の普遍加法的拡大を研究し、変形理論に応用した。さらに、その成果として、レベル構造を付した主偏極対数アーベル多様体のモジュライ関手が固有な対数代数空間で表現されることを示した。この研究成果の意義は、対数幾何学の枠組みのなかで、対数アーベル多様体が退化アーベル多様体として、従来にない、群構造をもつアーベル多様体の退化をとらえることに成功した点である。この点は目覚ましい成果と考えられる。本研究では、いくつかの固有なモジュライ空間を構成しているが、そのうちの一種は、これまでに得られていたアーベル多様体のモジュライ空間のトロイダルコンパクト化と、対数構造を除いた底空間において一致する。また、モジュライ関手の表現可能性という観点から、標準的な構成方法によりモジュライ空間が構成されたことも重要である。一方、トロイダルコンパクト化とは異なり、扇のデータを必要としないモジュライ空間も本研究において、すなわち、対数幾何学において得られた。この点は対数幾何学の利点である。対数代数空間による表現可能性は対数幾何学では２つのタイプがあり、さらに研究を進めている。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

本年度は、対数アーベル多様体のモジュライ空間の構成が進展し、おおむね順調にしている。

Strategy for Future Research Activity

モジュライ空間の構成に関して、代数空間の理論をふくめ、研究を進める。