対数アーベル多様体の幾何とモジュライ空間

2023 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 20K03555
• Research Institution: Yokohama National University
• Principal Investigator: 梶原 健 横浜国立大学, 大学院工学研究院, 教授 (00250663)
• Project Period (FY): 2020-04-01 – 2025-03-31
• Keywords: 対数構造 / 退化多様体 / アーベル多様体

Outline of Annual Research Achievements

本研究では、アーベル多様体のモジュライ空間において、適切な退化対象を対数幾何学のなかに見出し、対数アーベル多様体論を構築して、この方面の研究に応用することを目指している。対数アーベル多様体に関する本研究は、加藤和也氏（シカゴ大学、米国）、中山能力氏（一橋大学）との共同研究である。
本年度は、昨年度に引き続き、対数アーベル多様体上の構造層や微分加群を係数とするコホモロジー群に関する研究を進めた。対数アーベル多様体は対数代数空間であり、この対象は、代数空間を対数幾何学の観点から拡張したものであり、退化多様体を扱う問題に応用するにおいて欠かせない。例えば、この空間の応用として、退化アーベル多様体にも群構造を与えるとみなせる対数アーベル多様体が定式化される。このように対数代数空間は、幾何学的研究対象として、重要である。本研究では、対数アーベル多様体に関してコホモロジー群の研究を進めている。
具体的には以下のとおりである。対数アーベル多様体のコホモロジー群に関して、平坦性を利用するため、位相の差異によるコホモロジー群を比較して、構造層や連接層のコホモロジー群の計算を進めた。成果として、アーベル多様体における微分加群や構造層のコホモロジー群の計算が対数アーベル多様体に拡張できた。証明には、対数アーベル多様体のモデルとなる代数多様体のコホモロジー群との比較に関する成果を利用した。
本研究成果として、対数アーベル多様体の基礎理論が発展し、従来のアーベル多様体論が退化も含めて拡張され、退化多様体の活用が進展することが期待される。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

本年度は，対数アーベル多様体の連接加群係数コホモロジー群の計算が進展し，おおむね順調である．

Strategy for Future Research Activity

対数アーベル多様体のさまざまなコホモロジー群に関して，研究を進める．