2022 Fiscal Year Research-status Report
Expansion of the research on alternating sign matrices, plane partitions and tilings in the aspect of distributive lattice
| Project/Area Number |
20K03558
|
|---|
| Research Institution | Okayama University |
|---|
Principal Investigator |
石川 雅雄 岡山大学, 自然科学学域, 教授 (40243373)
|
|---|
| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
岡田 聡一 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (20224016)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
|
| Keywords | Pfaffians / orthogonal polynomials / Macdonald polynomials / Selberg integral / determinants / distributive lattice / Markov chain / Jack polynomials |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
令和２年度は、COVID-19 の為に国内・海外への出張ができなかった。参加を予定していた FPSAC 2020 も最初はイスラエルの Bar-Ilan University で開催予定であったが完全オンラインであった。また、数理研などで毎年ある表現論・組合せ論関係の研究集会もオンラインだったので旅費を使うことができなかった。代わりにノートパソコンの Let's Note を購入した。FPSAC 2021 は Bar-Ilan University で再び開かれたが参加できなかった。令和２年度に国内出張が可能になり３月に中央大学理工学部で開催された Encounter with Mathematics に参加し Cluster 代数についての講演を聴くことができた。令和３年度と令和４年度には津田塾大学の貞廣氏と共に何度か研究打合せを行った。特に、Diaconis-Ram による Macdonald 多項式と関係したマルコフ過程についての論文の B, C, D 型への拡張を考えている。このマルコフ過程は Jack 多項式に特殊化すると確率論の Ewens's sampling formula という有名な分布になり広く応用されているらしい。また、以前に Hanlon が対称群上のマルコフ連鎖を構成し Jack 多項式との関係を明らかにしたが、これを Macdonald 多項式に拡張したものになっている。また、和歌山大の田川氏と Cylindric partition の鉤公式とシューア多項式の関係について共同研究を行った。令和４年度に再びノートパソコンと数式処理ソフト Maple 2022 を購入し、研究体制を整えた。博士課程の学生の大本君が何度か若手の研究会に出張し alternating sign matrices の lattice について発表した。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
令和２年度、令和３年度は、パンデミックのために研究集会がほとんど開かれず出張ができず研究が進まなかった。令和４年度のフランスリヨン大学の共同研究者である Jiang Zeng 氏を訪問し、書きかけであった共著論文 Minor summation formula of hyperpfaffians and Selberg integrals を完成させた。さらにウィーンの Eisenkolbl とも、ある Pfaffian を評価するための計算を行った。これは連分数を使って Associated Jacobi polynomials という直交多項式に関連付ける方法で Ismail-Masson の多項式を使って Selberg 型の積分の計算に Pfaffian の評価を帰着させる。この Ismail-Masson 型の積分をかなり簡単化できたが、まだ計算できていない。パンデミック中は対面の研究集会が開かれず研究に支障をきたした。オンラインの研究集会や集中講義などを見つけて参加したが、オンラインでは細かなニュアンスが伝わらず対面には代えがたい。また、海外渡航も令和４年度まで出来なかった。この分野では、海外研究者との情報交換は重要である。代わりにノートパソコンや数式処理ソフトを購入した。また、東北大の中野氏や津田塾大の貞廣氏と RS-予想の証明を有限分配束的視点で見直し確率論的証明についての研究打合せを行った。和歌山大の田川氏とは cylindric hook formula と Schur 関数の関係についての共同研究を行った。その母関数を Schur 関数を成分にする行列式で表す方法は、わかったが、その評価の方法はわかっていない。
|
| Strategy for Future Research Activity |
Jiang Zeng 氏との論文では、いくつかの Pfaffian に関する予想を Selberg 型の積分に帰着して評価することができた。この論文をさらに魅力的にするためには応用を考える必要がある。特に平面分割の母関数の計算に応用できれば面白いものになる。平面分割については、まだいくつかの未解決問題があり、古典群の指標を使って母関数が表されることについての予想を作った。問題の平面分割の族の母関数は Pfaffian や行列式によって表せることは組合せ論的議論によって証明できる。これらの Pfaffian や行列式の評価して、古典群の指標と一致することを証明する部分が予想であり、今後研究していきたい。また、Jiang Zeng 氏との共同研究については、平面分割への応用を考えている。特に shifted plane partitions の族の中には、その数え上げ母関数が Pfaffian で表されるものが多い。適当な重みを考えることにより Selberg 型の積分で表されるような Pfaffian を出すことを目標にしている。他にも交代符号行列全体を順序集合として distributive lattice と考えると有限分配束の基本定理により A 型の root poset を貼り合わせてできる poset P の order ideal 全体 J(P) として実現できる。これを、点対称な交代符号行列全体の成す順序集合全体について考察すると B 型の root poset を貼り合わせてできる poset の order ideal 全体と同一視できることがわかる。これは偶数次でも奇数次でも両方いえる。これらの性質を詳しく調べたい。さらに defect を持つ FPL の母関数を求めることも研究課題である。
|
| Causes of Carryover |
パンデミックのために予定していた国内・海外の研究集会に参加できなかったので、旅費が使い切れずに、次年度の研究集会や共同研究に使うために残すことになった。令和５年度では京都大学数理解析研究所で表現論や組合せ論の研究会が予定されている。また、韓国 KAIST の Dongsu Kim を招聘して共同研究をしたいと考えている。その他に東北大の中野氏や津田塾大の貞廣氏と Macdonald 多項式と関連したマルコフ過程について研究打合せを続けたい。Diaconis-Ram の論文によると、このマルコフ過程の定常状態の固有ベクトルは Macdonald 多項式を power sum symmetric functions で展開したときの係数で得られる。B, C, D 型の Macdonald 多項式については、この power sum symmetric functions に当たるものがわかっていない。この他にも、このマルコフ過程を調べるには表現論や対称関数のいろいろな知識が必要となり、興味深い。
|
