2020 Fiscal Year Research-status Report
Construction of relatively cuspidal representations attached to symmetric varieties over local fields
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20K03559
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| Research Institution | Kagawa University |
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Principal Investigator |
高野 啓児 香川大学, 教育学部, 教授 (40332043)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 相対尖点表現 / 対称空間 / 放物誘導 / 安定放物部分群 / 分裂放物部分群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は局所体上の対称空間に付随した「相対尖点表現」の系統立てた構成法を探求するものである。本年度の実績として２件の査読付き論文を発表した。いずれも加藤信一氏（前・京都大）との共著論文である：
(1)On some relatively cuspidal representations: Cases of Galois and inner involutions on GL(n), Osaka J. Math. 57(3), pp.711-736 (2020).
(2)Relative Non-cuspidality of Representations Induced from Split Parabolic Subgroups, Tokyo J. Math. Advance Publication 1-8 (2021).
第一は一般線型群の内部対合およびガロア対合に関しての構成法を扱ったもので、対合安定な放物部分群からの誘導表現として非尖点的な相対尖点表現の多くの新しい系列を提供したもの、第二は、一般の簡約対称空間で分裂放物部分群からの誘導表現の大半が相対尖点的でなくなるような判定を与えたものである。第一の論文は本計画の出発点として、系統立てた構成法の典型となることが期待される。第二の論文について、まずは対称空間における Harish-Chandra の「カスプフォームの思想」への解答の一部をなすという重要性がある。また本研究計画のなかでは、相対尖点表現を分類するうえで除外すべきクラスを特定する際に応用できることを見込んでいる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
本年度の研究計画は、主として偶数次一般線型群の斜交対合で定まる対称空間に付随する相対尖点表現の構成法を探ることであった。この対称空間で、対合安定な放物部分群とそのレヴィ部分群につくられる対称空間の型のリストアップは順調に遂行できた。次いで実際に相対尖点表現を与えるクラスの絞り込みを、作業仮説的にある種の楕円型分裂トーラスの配置を調べ行ったが、候補となるものが１種類だけとなってしまい、そこから構成されるものは本代表者が既に2008年に発表済みの論文で挙げた一例に帰着されてしまうことが判明した。仮に相対尖点表現がその一系列に限られると証明できるなら、それは一定の意味のある結果となるところだが、その断言を下すことはできていない。
偶数次であれば直交対合、ユニタリ対合の場合も構造的に類似点が多く並行して進められるものと期待した。これらの場合であれば少ないクラスでも新しい実例の提供となる。しかしこれらの場合は複数の対合の同値類があり、上述のような作業仮説に照らす際にその違いが、定義体の性質とも絡んだ複雑な状況となってしまうことも判明した。以上の観点からは、当初の計画から進捗が若干遅れていると言わざるを得ない。
なお、昨年度はコロナ禍の影響で研究集会への参加や研究打ち合わせが完全に不可能となり、予定していた情報交換の機会が作れなかったことも付記しておく。
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| Strategy for Future Research Activity |
次年度以降も引き続き、一般線型群の斜交・直交・ユニタリ対合が定める対称空間に付随した相対尖点表現の構成法を探る。斜交対合の場合でまず残っている課題は、主候補の一種類以外の安定放物部分群からの誘導が相対尖点的ではないと判定できるかどうかである。これを実績報告の(2)の主定理を用いて遂行することを考える。そのために分裂放物部分群の分類について精査し、それらの安定放物部分群との関係（共役や包含）について調べる。これにより、相対尖点なクラスから除外すべきものを明確にすることができると考えている。
さらに直交・ユニタリ対合でも同種の問題を取り上げるが、対合の同値類の違いが生む複雑さを避けるため、問題を半分裂型の対合の場合に限定して扱うこととしたい。見通しとして奇数次の一般線型群での状況は、非尖点的で相対尖点的なものが存在しないとの結論も予測している。これらでも実績報告(2)の主定理を用いた除外の明確化を追求したい。こうした極端な状況は何らかの構造的特徴の反映であることも予想される。一般的な簡約群で放物部分群の分裂性と安定性の関係、楕円型分裂トーラスの配置の可能性なども考察の対象として調べたい。
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| Causes of Carryover |
当該年度は新型コロナ禍の影響により、計画していた研究打ち合わせ・情報収集のための出張が全て不可能となり、また出席を予定していた研究集会も全て中止となったため、旅費の支出が全くできずに終わった。これが次年度使用額の生じた理由である。
次年度における使用の計画としては、まず研究打ち合わせ・情報収集のための出張（京都大、大阪大、岡山大の定期セミナーへの参加）や各種研究集会への参加（京都数理解析研究所など）の機会を増やし、旅費の支出に追加的に充てる。また、次年度においても依然としてコロナ禍の影響が残り、各種研究集会が遠隔開催となる可能性がある。遠隔実施におけるスムースな参加・発表のための機材を追加的に購入する予定である。
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