2020 Fiscal Year Research-status Report
Approach to geometric crystals and cluster algebras from crystal base theory
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20K03564
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| Research Institution | Sophia University |
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Principal Investigator |
中島 俊樹 上智大学, 理工学部, 教授 (60243193)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 結晶基底 / 幾何結晶 / クラスター代数 / ポテンシャル / 単項式表示 / 一般化された小行列式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的である幾何結晶、クラスター代数の理論の結晶基底からのアプローチについて、まず、C型結晶基底の単項式表示による積の分解公式を記述することにほぼ成功している。これには、まず、単項式の積が再び決結晶の構造を保つことを示し、それらが結晶として分解することを保障し、最後に、分解公式を明示的に与えた。また、幾何結晶におけるBerenstein-Kazhdan ポテンシャルに関係する一般化された小行列式の結晶基底の単項式表示による記述について、新しいアルゴリズムを発見し、検証中である。これらは、現在sageなどの数式処理プログラムなどを利用して実行中である。この新しいアルゴリズムも過去に行った研究成果を進展させたもので、純粋に組合せ論的なものであるが、既存の結晶基底における柏原作用素の新しい記述とも考えられる。これらは、進行中の研究であるが、一定の成果は得られている。局所化された量子群の結晶基底についてもいくつかの準備段階を終えつつある。とくに、結晶構造の具体的な候補を予想しており、いくつかの証査も得ているところである。
アファイン型の幾何結晶については、現在まで大きな進展は見られていないが、いくつか計画中の研究は存在する。例えば、上のBerenstein-Kazhdan ポテンシャルのアファイン版について定義を考え、アファイン型にもBerenstein-Kazhdan の手法の類似が展開できないかと予想している。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
おおよそ３つほどの研究が同時進行中であり、そのうち２つについてはある程度の成果を得ているので。概ね順調に進展していると考える。
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| Strategy for Future Research Activity |
ある程度の成果が得られた研究については成果発表の準備をすすめ、さらなる進展が望めるので実験的な計算などをPCを用いて実行する。準備段階にあるものについては、共同研究者と話し合いの上、一般的な形を予想し、具体例の検証から始め証明などに入っていきたい。
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| Causes of Carryover |
コロナの影響もあり出張などの出費がなく次年度使用額が生じた。今年度は、機器備品を充実させ、また海外出張などが許される状況になれば、出張などにも支出したい。
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