2021 Fiscal Year Research-status Report

Approach to geometric crystals and cluster algebras from crystal base theory

Research Project

Project/Area Number	20K03564
Research Institution	Sophia University
Principal Investigator	中島俊樹上智大学, 理工学部, 教授 (60243193)
Project Period (FY)	2020-04-01 – 2025-03-31
Keywords	結晶基底 / 幾何結晶 / クラスター代数 / ポテンシャル / 単項式表示 / 一般化された小行列式 / 局所化された量子群 / 圏化
Outline of Annual Research Achievements	本研究の目的である幾何結晶、クラスター代数の理論の結晶基底からのアプローチについて、まず、C型結晶基底の単項式表示による積の分解公式を記述することに成功した。この研究の概要については、まず、単項式の積が再び決結晶の構造を保つことを示し、それらが結晶として分解することを示し、最後に、分解公式を明示的に与えた。また、幾何結晶におけるBerenstein-Kazhdan ポテンシャルに関係する一般化された小行列式の結晶基底の単項式表示による記述について、共同研究者らと新しいアルゴリズムを発見し、一部については論文の投稿中である。また、より一般化された結果についてもsageなどの数式処理プログラムなどを利用して実証し、現在、論文の執筆中である。この新しいアルゴリズムも過去に行った研究成果を進展させたもので、純粋に組合せ論的なものであるが、既存の結晶基底における柏原作用素の新しい記述とも考えられる。進行中の研究であるが、一定の成果は得られているものとして圏化の理論を応用して定義された局所化された量子群の結晶基底についての結果がある。とくに、結晶構造の具体的な形を与え、証明について検証中である。アファイン型の幾何結晶については、現在まで大きな進展は見られていないが、いくつか計画中の研究は存在する。例えば、上のBerenstein-Kazhdan ポテンシャルのアファイン版について定義を考え、アファイン型にもBerenstein-Kazhdan の手法の類似が展開できないかと予想している。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason おおよそ３つほどの研究が同時進行中であり、そのすべてについて、ある程度の成果を得ているので。概ね順調に進展していると考える。
Strategy for Future Research Activity	ある程度の成果は得られたので、さらに発展させるとともに、応用についても考えていきたい。
Causes of Carryover	コロナ禍により当初の予定通り出張ができなかったため次年度使用額が生じた。新たに出張が可能となったらそうしたものに使用したい。