2022 Fiscal Year Research-status Report
Realization Functor of Motives and its Application to Period Integral
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20K03567
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| Research Institution | Hosei University |
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Principal Investigator |
寺杣 友秀 法政大学, 理工学部, 教授 (50192654)
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2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 周期積分 / 代数的サイクル / 多重ゼータ値 / 超幾何関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
周期積分の具体的表示についていくつかの結果を得た。
（１）射影直線の4次の巡回被覆で4点が分岐する曲線にはエクストラ・インボルーションが自然に作用する、これはプリム多様体へのインボルションを与えるが、4次の巡回群とこのエクストラ・インボルーションの存在によりプリム多様体が二つの楕円曲線の直積となることが導かれる。この作用を使って逆周期写像をテータ関数を用いて表現する方法を与えた。
（２）種数3の曲線は標準埋め込みをすることにより平面4次曲線となるが、その28本の双接線への番号付けによる印付けを用いてモジュライ空間をつくることができる。このモジュライ空間と3次元射影空間内の8点のモジュライとの同型が次のようにして与えられる。空間内の8点が与えられたとき、8点を通る2次線型系を考えると2次元の線型系ができるが、その線型系内の特異点をもつ2次曲面全体が2次元射影空間内の4次曲線となる。そこで射影空間内の8点の配置の射影不変式を考える。この射影不変量はコーブルとドルガチェフにより定義されたものであるが、同じ添え字をもつ不変量がテータ定数を用いても与えられる。この二つが実際に定数倍を除いて一致することが予想されていたが我々はこの予想に対する証明を与えた。さらにそれらに対してヤコビの恒等式の類似についての予想の式を与えた。これは実際に超楕円曲線の所に制限すると正しいことを示した。この印付けは曲線のモジュライの方で考えるとヤコビアンの2分点の印付けを与えることと同値であることからE7ワイル群との関係が明示的に与えられる。
（３）サンドイッチ解消とブロードハースト・クライマー予想との関係を研究した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
引き続き混合楕円モチーフを用いてモチーフ的多重ゼータ値の深さフィルトレーションをとらえることによりブロードハースト・クライマー予想への手がかりを得るための研究が進んだ。楕円曲線の退化により混合テイト・モチーフへの影として深さフィルトレーションが自然と現れる。楕円曲線から1点を除いた曲線のドラム基本群の族は混合楕円モチーフの対象を与える。この対象を考えることにより混合楕円モチーフを分類するホップ代数上の余加群が定まるので、対応して余加群およびその上の余作用を考えることができる。混合楕円モチーフにおいて退化したファイバーを基点として考えると、そのときはドラム基本群は射影直線から3点を除いたものとなり、混合テイト・モチーフの対象となる。この仕組みを利用する利点は3点が印付けされた楕円曲線のモジュライ空間上の混合楕円モチーフのホップ代数に自然に導入されるフィルトレーションが存在して、退化する前の楕円曲線のドラム基本群に入るバー・フィルトレーションと協調的となることがわかった。
これまでわかっていることは、そのホップ代数のドリーニュ・コホモロジ版の付随する次数加群の次元がブロードハースト・クライマー予想と関係しているという事実である。高次チャウ群を用いたものと比較すると実際にモチーフで考えたもので正しい次元を実現することが期待される。しかしチャウ群全体を考える必要はなく、その一部分であるテータ・チャウ群と呼ばれる、テータ関数の商して現れる有理関数のみを用いたシンボルで生成された部分群さえ考えればよいと予想が得られた。
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| Strategy for Future Research Activity |
テータ・シンボルによる高次チャウ群の元がどの様にして現れるかを詳しく見る必要がある。そのためにはゴンチャロフ・シェヒトマン・バルチェンコによる青本超幾何関数から出てくる混合テイト・モチーフをどう作るかという問題でももちいられた、ホモトピー置き換えの手法が有効である。この方法を実行すると自然にテータ・シンボルが現れる。テータ・シンボルに現れるような有理関数の最も典型的なものは、対角写像のキュネス分解する際に現れる等式の左辺と右辺の差をバウンドする有理関数である。テータ関数はそのままでは有理関数とならず、様々なテータ関数の商を考える必要があるが、これについては楕円曲線を変数とする2次形式でとらえられることがわかっている。このようにしてできる余作用の表示で現れるシンボルで生成される群がホップ代数のどの部分に現れるかを特定することが必要で、サンドイッチ解消と協調的なフィルトレーションを生成することが予想される。なおサンドイッチ解消と協調的なフィルトレーションについてはその候補がほぼわかっている。ただし、1点付き楕円曲線のモジュライの混合楕円モチーフのホップ代数のＫπ１性を仮定する必要がある。ここでもテータ・シンボルで生成される部分だけでよい。
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| Causes of Carryover |
当初外国の研究者との研究連絡を予定していたが、感染症の拡大のため差し控えた。次年度には再開する予定である。
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