2021 Fiscal Year Research-status Report
Geometric study of quantum toroidal algebras
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20K03568
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| Research Institution | Rikkyo University |
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Principal Investigator |
斉藤 義久 立教大学, 理学部, 教授 (20294522)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 量子群 / 楕円ルート系 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度に行った研究は以下の通りである.
(1) 楕円Artin群の幾何学的構成の精密化
(2) 非被約な楕円ルート系の分類
(1)について:本研究課題の主要テーマである『量子トロイダル代数の幾何学的研究』への基礎工事となる研究で，昨年度に引き続き行ったものである．具体的には，楕円周期領域と呼ばれる複素領域から楕円Weyl群の鏡映面たち(無限枚ある)を除いた補集合を考え，その空間を楕円Weyl群の作用で割る.得られた空間は自然に上半平面上のファイバーバンドルに構造を持ち，そのファイバーの基本群として楕円Artin群(楕円ルート系に付随するブレイド群)が幾何学的に構成されるというものである．昨年度までの構成ではいくつかの例において例外的な処理を行わなければらならず，この点に不満が残っていた．今年度の研究では，この点を解消し完全に統一的な形で構成を与えることが出来た．この点は大きな進展であると考えている．
(2)について:こちらも昨年度に引き続き行ったテーマである．昨年度までの研究で，非被約な楕円ルート系の分類は得られていたが，今年度はそれらのルート形に対して，Weyl群の構造の決定，自己同型群の構造の決定など，より詳細な解析を行った．さらにその応用として，一部の非被約楕円ルート形に付随して，これまでに知られていなかった新しい代数系（非被約楕円ルート形に付随する楕円Hecke代数と呼ぶべきもの）の候補を見つけることが出来た．この代数に付随する可積分系，特に直交多項式の構成問題は今後の研究課題であるが，報告者のこれまでの研究経験からすれば，おそらくこれまでに見つかっていない高い対称性を持つ直交多項式系が構成出来ると考えている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
昨年度と同様に，本年度も新型コロナウィルス感染症の流行の影響は大きかったと言わざるを得ない．昨年度に比べれば報告者自身も大学当局もオンラインによる体勢に慣れたとも言えるが，感染の規模としては昨年度よりも今年度の方が遥かに大きく，このために生じた急激な環境の変化により，大学内の通常業務体制が変化を強いられ，本来研究に充てるべきリソースを十分に割くことが不可能になってしまった.
同時に，人の行き来が途絶えてしまったため，本来行う予定だった関連研究者との研究打ち合わせ・関連研究者の招聘が一切出来なくなってしまった.これほどの災害は研究計画申請時には予想出来るはずもなく，ある程度の影響はやむを得ないものと考えている.
こうした環境の中にあって，多少なりとも研究が進展させることが出来たと考えている．特に『研究実績の概要』の(2)で述べた『非被約な楕円ルート系の分類』に現れる，新しい代数系（非被約な楕円ルート系に付随する楕円Hecke代数と呼ぶべきもの）は，新たな可積分系，直交多項式系を生み出す可能性があり，今後の研究の進展が期待される．また，（１）に関連して現れる『楕円正則軌道空間が非自明な高次ホモトピー群を持つか？』という問題も，今後の研究の進展が待たれるところである．昨年度に行われた新しい発見に対し，そのうちのいくつかには部分的な解答を与えることが出来たという点は，プラスの評価を与えて良いと考えている．しかしながら，当初の計画通りに研究が進まなかった面があることは否定できない.これには最初に述べた世界的なコロナウィルス感染症の流行が大きく作用しているのは間違いないものの，全体としてはやはりマイナスの自己評価を与えざるを得ない.
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| Strategy for Future Research Activity |
現在，国内における新型コロナウィルス感染症の流行は，以前に比べれば多少の落ち着きは見せつつあるものの，まだ予断を許さない状況にある．一方，海外への渡航・海外からの研究者の招聘に関しては昨年度までに比べれば緩和されつつあるので，可能な限り海外での研究成果の発表や国外の研究者の招聘を行なって行きたいと考えている，ただし，2021年度までと同様，事態が悪化してしまう場合も考えられるので，研究課題の遂行を妨げる要因になり得る可能性を考慮せざるを得ない.
(1) 楕円Artin群の幾何学的構成の精密化:『研究実績の概要』の項で述べた楕円周期領域へのモジュラー群の作用に関しては，まだ未解明な部分が多く残されている状態にある.昨年度に引き続き，楕円関数に関連する可積分系への応用を見据えて，未整備な部分を埋める作業を行なっていく.
(2) 非被約な楕円ルート系に関する研究:昨年度の報告書の中で，(i) 自己同型群，特にモジュラー群の決定，(ii) Coxeter元の存在の有無，(iii) 付随する楕円Hecke代数の構成，(iv) 対応する楕円正則軌道 空間の構成，の４点を『今後の研究の推進方策』に挙げた．このうち，(i)についてはほぼ満足のいく成果を得ることが出来た．また(iii)についても方向性が見え始めている状況にある．今後は(iii)を中心に研究を行いつつ，(ii)と(iv)についても研究を行なっていきたい，
(3) 量子トロイダル代数(QTA)のPBW型基底の構成:種々の要因から2021年度中に取り組むことが出来なかっ たが，時間が許せば是非取り組みたいテーマである.特に，PBW型基底の構成はQTAに付随する普遍R行列の構成において欠かすことができず，非常に重要な課題と考えている．報告者のこれまでの研究で必要なデータは蓄積されており，成果を上げることが十分に期待できると考えている.
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| Causes of Carryover |
次年度使用額が生じた理由は，昨年度同様『新型コロナウィルス感染症の世界的な流行により，国内外で人の移動が全く出来なくなってしまったこと』に依る.2021年度，国内旅費に関しては，関連する研究者と何回か研究打ち合わせを行い，非常に有意義な議論を行うことが出来た．この点は2020年度より状況が改善した点である．他方，海外旅費については相変わらず予定通りの執行は難しい状況が続いている．また，関連する研究者の招聘も現時点では実現の目処は立っていない.また，当初予定していた学生アルバイトを使って の資料整理等の作業も，密を避ける目的で一切行わなかった．そのため，計上していた予算を予定通りに使用することが出来なかった.これらは研究計画作成時には全 く予想が出来なかったことであり，止むを得ない事情に該当すると考えている. 今年度については，より状況は改善していくものと考えているが，現時点では先行きが不透明であるため使用計画を立てるのが難しい．仮に人の移動が可能になった場合には，当初研究計画に基づく予算の執行に加え，新たに，海外からの関連研究者の招聘を予定している.実現すれば，本研究計画の遂行上大きなプラスになるとともに，十分に本年度の未使用分をカバー出来ると考えている.
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