2022 Fiscal Year Research-status Report
Geometric study of quantum toroidal algebras
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20K03568
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| Research Institution | Rikkyo University |
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Principal Investigator |
斉藤 義久 立教大学, 理学部, 教授 (20294522)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 量子群 / 楕円ルート系 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度に行った研究は以下の通りである. (1) 非被約な楕円ルート系に関する研究，(2) 変形トロイダルリー代数の表現論の研究
(1)について:昨年度から引き続き行った研究テーマである．昨年度までの研究で，非被約な楕円ルート系の分類は得られていたが，本年度は『楕円図形』と呼ばれる色付き有限有向グラフを導入し，分類結果を視覚化するとともに，各ルート系の構造をより明確に記述することに成功した．楕円図形は，被約な楕円ルート系の場合に齋藤恭司によって以前から得られていた概念であるが，本研究ではこれを非被約な場合に拡張したもの，と見做すことが出来る．さらに，楕円図形から出発して，非被約な楕円ルート系全体を完全に復元出来ることを示した．なお，本テーマに関しては，2023年2月から3月にかけて行われた国際研究集会『Gauge Theory, Moduli Spaces and Representation Theory,Kashiwa 2023』において，招待講演を行った．
(2) こちらは本年度から新たに始めたテーマである．A型の量子トロイダル代数は２つの変形パラメータを持つことが知られている．このうち，一方のパラメータを１に近づけた極限を考えることで，あるリー代数が得られる（これを変形トロイダルリー代数と呼ばれる）．本年度はこの変形トロイダルリー代数のCartan部分代数を保つ自己同型群について調べ，変形トロイダルリー代数に対し，楕円モジュラー群が作用することを示した．また，変形トロイダルリー代数に対し，頂点作用素を用いた表現の具体的構成を行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
昨年度，一昨年度と同様，本年度も新型コロナウィルス感染症の流行の影響は大きかったと言わざるを得ない．本年度は多くの大学で対面講義が復活し，昨年度までに比べると，コロナ禍以前の状況に戻りつつあると言って良い．ただし，研究面においては，まだまだ以前の業況には程遠い．実際，人の行き来が途絶えてしまっている状況は昨年度以前と変わらず，本来行う予定だった関連研究者との研究打ち合わせ・関連研究者の招聘がほとんど実行することは出来なかった.これほどの災害は研究計画申請時には予想出来るはずもなく，ある程度の影響はやむを得ないものと考えている．なお，昨年度末あたりから，徐々に状況は改善し，対面による研究集会も復活しつつある．年度末に行われた国際研究集会で研究発表が出来たのは，報告者としても喜ばしく思っているところである．
こうした環境の中にあって，多少なりとも研究が進展させることが出来たと考えている.特に『研究実績の概要』の(1)で述べた『非被約な楕円ルート系の分類』に現れる，楕円図形の概念は，非被約な楕円ルート系の同型類を完全に決定するもので，今後の研究の礎となると評価している．また，代数的な基礎理論が確立したことで，非被約な楕円ルート系に付随した楕円正則軌道空間の構成，あるいはその基本群の研究等，幾何学的なテーマへの橋渡しが可能になった．次年度以降の研究テーマとして，是非取り扱いたいと考えている．
本年度の研究への自己評価としては，(i) 昨年度に行われた新しい発見に対し，いくつかには部分的な解答を与えることが出来た点，(ii) 新規性のあるテーマに着手した点（『研究実績の概要』の(2)など），の２点は，プラスの評価を与えて良いと考えている.しかしながら，当初の計画通りに研究が進まなかった面があることは否定出来ず，全体としてはやはりマイナスの自己評価を与えざるを得ない.
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| Strategy for Future Research Activity |
現在，国内における新型コロナウィルス感染症の流行は以前に比べればかなり落ち着きを見せつつある．対面での研究打ち合わせも可能になりつつあるので，今後は積極的に行っていきたい．また，海外への渡航・海外からの研究者の招聘に関しては昨年度までに比べれば緩和れつつあるので，可能な限り海外での研究成果の発表や国外の研究者の招聘を行なって行きたいと考えている．ただし，昨年度までと同様，急激な感染状況の悪化の可能性も排除できないので，その場合の研究課題の遂行方法についても配慮しながら，研究活動を行わざるを得ないであろう．
(1) 楕円Artin群の幾何学的構成の精密化:楕円周期領域へのモジュラー群の作用に関しては，まだ未解明な部分が多く残されている状態にある.昨年度に引き続き，楕円関数に関連する可積分系への応用を見据えて，未整備な部分を埋める作業を行なって行きたい.
(2) 非被約な楕円ルート系に関する研究:非被約かつ既約な場合，６種類の無限系列が存在することが昨年度までの研究で示されている．これら６種類のルート系に関しては，(i) ある種の条件を満たす超リー代数の分類結果と一致する，(ii) トロイダルリー代数からの畳み込みの操作で得られるリー代数のルート系として現れる，等，他分野への応用が見え隠れしている状況にある．現時点では，これらは発見的考察に過ぎないが，これらを理論化していくことを目指したい．
(3) 変形トロイダルリー代数に付随する可積分系の研究:本年度に構成した変形トロイダルリー代数の頂点表現を用いて，これに付随する可積分系の導出を行いたい．報告者は，以前トロイダルリー代数に付随する可積分系を導出した経験があり，その際用いた手法を変形トロイダルリー代数の場合に揚々することで，成果を上げることが十分に期待できると考えている.
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| Causes of Carryover |
次年度使用額が生じた理由は，昨年度，及び一昨年度と同様に『新型コロナウィルス感染症の世界的な流行により，国内外で人の移動が全く出来なくなってしまったこと』に尽きる．2022年度，国内旅費に関しては，関連する研究者と打ち合わせはある程度の予算執行を行うことが出来たものの，研究集会に関してはがオンラインで開催されることが多く，予定通りの予算執行が出来なかった．また，海外旅費・関連する研究者の招聘についてはより深刻で，相変わらず予定通りの執行が難しい状況が続いている．これらは研究計画作成時には全く予想が出来なかったことであり，止むを得ない事情に該当すると考えている. 次年度については，5月から新型コロナウイルス感染症が５類感染症に移行される等，大幅な規制緩和が予想される．実際，6月に海外出張を予定しており，次年度単体で考えれば予定通りの予算執行は可能であると考えている．
また，次年度は新たに立教大学の神保道夫名誉教授を研究分担者として加え，より強力な研究体制をとることとなった．本年度までに執行出来なかった予算に関しては，神保教授への分担金としても使用することとなる．神保教授の参加は，本研究計画の遂行上大きなプラスになるとともに，十分に本年度の未使用分をカバー出来るものと考えている.
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