2023 Fiscal Year Research-status Report
Geometric study of quantum toroidal algebras
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20K03568
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| Research Institution | Rikkyo University |
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Principal Investigator |
斉藤 義久 立教大学, 理学部, 教授 (20294522)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
神保 道夫 立教大学, 理学部, 名誉教授 (80109082)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 量子群 / 楕円ルート系 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度に行った研究は以下の通りである.
(1) 非被約な楕円ルート系に関する研究，(2) 楕円ルート系に付随するリー代数の研究 (1)について:昨年度から引き続き行った研究テーマである.昨年度までの研究で, (i)非被約な楕円ルート系の分類, (ii)楕円図形による分類結果の視覚化, 及び各ルート系の構造をより明確化, の２点に成功していたが，本年度はこれらに加えて, (iii)各ルート系の自己同型群の決定, (iv)対応するワイル群の構造の決定（楕円図形に付随する生成元と基本関係式の導出）を行った．今年度の研究により，非被約な楕円ルート系を調べるための基本的なデータは，ほぼ出そろったと考えている.また，本テーマに関する研究成果を国内外の研究集会（国内３件，海外１件）で発表した．
(2)について:楕円ルート系に付随するリー代数としては, トロイダルリー代数が知られている. これは半単純リー代数に２変数のローラン多項式環をテンソルして, その普遍中心拡大として得られるリー代数で，本課題の主要テーマである量子トロイダル代数の古典極限にもなっている. ただし，トロイダルリー代数と関連するのは一部の楕円ルート系だけであり,『一般の楕円ルート系に付随するリー代数とは何か？』という問いに解答を与えることは，これまでは出来ていなかった．今年度はこの課題に取り組み，(i)アフィンリー代数の場合によく知られた『ねじれ構成』を楕円ルート系に拡張することで，全ての楕円ルート系に付随するリー代数を構成し，(ii)構成されたリー代数の一部に対しては，楕円図形に基づく生成元と基本関係式による表示を得た．特に, (ii)の生成元と基本関係式による表示は，構成されたリー代数の量子化（一般量子トロイダル代数）を構成する上で，基本的な結果であると考えている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
本年度はコロナ禍以前の状況にほぼ戻ったと言って良く，複数回の国内外出張を行うことが出来た．特に，6月のドイツ，3月のフランスで行った海外研究者との共同研究は，非常に有益だった．研究発表も４件行い，関連研究者との活発な交流も行うことが出来た．また著作物に関しては，現在３編の論文を準備中で，うち２編は間も無く専門誌に投稿する予定である．年度内の投稿が間に合わなかった点に不満が残るが，本年度の成果は満足出来るものと言って良い．
具体的な内容に関しては，『研究実績の概要』の(2)で述べた『楕円ルート系に付随するリー代数の研究』に着手できた点が非常に大きい．半単純リー代数と２変数ローラン多項式環のテンソル積の普遍中心拡大としてられるトロイダルリー代数は，楕円ルート系をルート系に持つ．しかしながら，トロイダルリー代数に対応するのは一部の楕円ルート系のみである．既存の研究の中にも，一般的な楕円ルート系に対応するリー代数を構成する試みは存在するが形式的な拡張の範疇を超えるものではなく，いささか不満の残るものであった．実際，これらの構成では構成したリー代数に対して，ルートの重複度を計算することが出来ない．これは将来的に表現の構造（指標公式）を計算する上で，重大な問題となる．他方，報告者による『楕円ルート系に付随するリー代数のねじれ構成』では，ルートの重複度を完全に決定出来る．この点が既存の研究と今回の研究の決定的な差である．
本年度の研究への自己評価としては，(i) 国内外での共同研究・研究発表を十分に行うことが出来た点，(ii) 次年度以降の研究に繋がる新規性のある研究に着手したこと，の2点は満足のいく成果であると言えるだろう.しかしながら，コロナ禍による研究の遅延は否定できず．これを取り戻すことは出来なかった．従って，全体としてはマイナスの自己評価を与えざるを得ないと考える．
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| Strategy for Future Research Activity |
研究の最終年度である2024年度は，本研究で得られた成果を積極的に発表していく予定である．まず，執筆途中の２編の論文については早急に学術雑誌への投稿を行いたい．また，口頭発表については，国内２件（2024年6月と7月. いずれも招待講演）が既に確定しており，9月には海外発表を行う可能性がある. それ以外にも国内外での研究成果の発表を積極的に行って行きたい．
具体的な研究内容に関しては，次の２点を行う予定である．
(1) 楕円ルート系に付随するリー代数の研究とその量子化：本年度に行なった『ねじれ構成に取るリー代数の構成』をさらに発展させ，(i) 全ての楕円ルート系に付随するリー代数の構成とその構造解析，(ii) (i)の成果の量子化，の２点を目標とする．ねじれ構成を用いて定義したリー代数のルートの重複度は計算は本年度で完了しているので，次年度は『楕円図形に基づく有限個の生成元と関係式による表示』を全ての楕円ルート系に対して完成させたい．また，この方向性の先に，全ての楕円ルート系に付随する量子代数の構成がある．現状，トロイダルリー代数に対しては，その量子化（量子トロイダル代数）が知られているが，それ以外のケースでは対応する量子化は知られておらず，新規性の高い研究になり得る．
(2) 変形トロイダルリー代数に付随する可積分系の研究:これは，昨年度の研究報告書に『2023年度の課題』として挙げたテーマであるが，それ以外の研究が予想以上に進展したためにそちらに多くの時間を費やしていまい，当初の予定通りに研究を進めることが出来なかった．2024年度は途中で止まった研究を再開し，年度内に研究成果をまとめたい．具体的には2022度に構成した変形トロイダルリー代数の頂点表現を用いて，これに付随する可積分系の導出を行う．必要な理論構成はほぼ終わっているので，年度内に十分な成果が得られると考えている.
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| Causes of Carryover |
次年度使用額が生じた根本的な理由は『新型コロナウィルス感染症の世界的な流行により，国内外で人の移動が全く出来なくなってしまったこと』に起因する. 特に，国内外の移動制限は顕著だった2020年度，2021年度は，多くの研究集会が中止，またはオンライン化されたため旅費を使用することが出来なかった．同時に関連研究者の招聘が出来ず，共同研究者との研究連絡もオンラインで行わざるを得なかったため，そのために充てる予定だった予算を使用することが出来なかった．こうした理由から，研究計画自体の進行が大幅に遅れることになった．この問題点を解消するため，2023年度末に1年間の研究期間の延長を申請し，許可を頂いた．
2023年度に限って言えば，ほぼ予定通りの予算の執行が出来たつもりである．みかけ上次年度使用額が生じた理由は，１ヶ月の海外出張を2月から3月にかけて行なったため，事務手続き上次年度執行という形を取ったためである．現在未使用のまま残っている予算は当初計画案のほぼ一年分程度の金額である．コロナ禍という予期せぬ事態の発生により丸１年研究の遂行が遅れたものの，計画はほぼ予定通りに進行しており特に問題は無い．研究計画の最終年度である本年度は，国内外における研究発表を積極的に行なって，本課題の総括を行う予定である．
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| Remarks |
アーカイブに公表した研究論文．
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