Branching laws for Jacobi modular forms: periods and specai L-values

2020 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 20K03569
• Research Institution: Kyoto Sangyo University
• Principal Investigator: 村瀬 篤 京都産業大学, 理学部, 教授 (40157772)
• Project Period (FY): 2020-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: 新谷リフト / テータリフト / 楕円モジュラー形式 / ヤコビ形式

Outline of Annual Research Achievements

２０２０年度において、主として、整数ウェイトの楕円モジュラー形式から整数ウェイトのヤコビ形式を構成する新谷リフトについて、整数論的研究を行った。新谷は、整数ウェイトの楕円モジュラー形式から半整数ウェイトの楕円モジュラー形式を、古典的な枠組みで非正則なテータ級数を介して構成した。これを新谷リフトという。Kohnenは、新谷リフトの特別な場合を考察し、整数ウェイトの楕円モジュラー形式から整数ウェイトのヤコビ形式への写像を、やはり古典的な枠組みで正則核を用いて構成した。この写像は虚２次体の判別式によりパラメトライズされている。また、Gross-Kohnen-Zagierは、Kohnenの構成した写像によって0にならない場合のフーリエ展開とPetersson内積の関係について公式を与えている。
本研究では、Kohnenの与えた写像を、判別式が-4の場合に、新谷のオリジナルなアイデアに基づいてアデール的な枠組みで非正則なテータ核を用いて再構成した。構成の際の最大の問題点は、素点2における試験関数をうまく与えることである。本研究では、かなり複雑ではあるが正しいと思われる試験関数を与え、写像の像として得られるヤコビ形式のフーリエ展開を計算することによって、判別式が-4の場合のKohnenの写像のアデール版であることを証明することができた。この構成の利点は、アデール的な枠組みであるために、写像による像のPetersson内積を、Siegel-Weil公式を応用して計算できる可能性を与えることである。
今後の課題としては、写像による像として得られるヤコビ形式のPetersson内積を実際に計算することがある。
なお、この研究は研究協力者の源嶋氏との共同研究によるものである。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

本研究の目標は、ヤコビ形式の制限として得られる楕円モジュラー形式を精密に記述する分岐則を与えることである。初年度は、ターゲットとなるヤコビ形式をテータリフトとして構成することを目標にしていたが、特別な場合（判別式が-4に対応する場合）には、再構成することができ、研究目標への足がかりが得られた。

Strategy for Future Research Activity

2020年度の研究で構成した写像による像として得られるヤコビ形式のPetersson内積を実際に計算することが２０２１年度の研究目標である。これによって、Kohnenの構成した写像での非零性と保型L関数の特殊値に関する関係が得られるはずである。

Causes of Carryover

2020年度に、チェコ・プラハにおける国際研究集会に参加を予定していたが、国際研究集会がコロナ禍によって延期された。また、北海道大学において、研究協力者と研究打ち合わせを行う予定だったが、これもコロナ禍によって中止を余儀なくされ、出張旅費を全く支出しなかったために、次年度使用額が生じた。
２０２１年度において、北海道大学および金沢大学において、研究協力者と研究打ち合わせを行って、使用する予定である。