アイソトロピック・グラスマン多様体のシューベルトカルキュラス

2023 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 20K03571
• Research Institution: International Christian University
• Principal Investigator: 松村 朝雄 国際基督教大学, 教養学部, 准教授 (80755223)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 池田 岳 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (40309539)
• Project Period (FY): 2020-04-01 – 2025-03-31
• Keywords: key多項式 / Lascoux多項式 / 旗付きシュアー多項式 / 旗付きグロタンディック多項式 / permutahedron / 対称群 / hyperoctohedral群

Outline of Annual Research Achievements

key多項式のkeyタブロー公式の別証明に関する論文がほぼ仕上がった。仕上げる過程で、key多項式のK理論的拡張であるLascoux多項式が、旗付きグロタンディック多項式になるための必要十分条件で、Reiner-ShimozonoやYu-Shimozonoで得られていなかった別のものが、見つかったので、それも別の論文にまとめている。旗付きグロタンディックのChevalley法則については、引き続き、執筆を進めている。また、関連してPermutahedronに付随したトーリック多様体の（同変）コホモロジーはワイル群の表現になっているが、それの既約表現分解を具体的に得た.対称群とhyperoctphedral群の場合に、論文にまとめている。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

P関数のシューベルト係数の組み合わせ論的表示をクリスタル構造を使って求めるアイデアを元に、A型のグロタンディック多項式のシューベルト係数をYuのK-crystal構造を使って求めている一方で、上記の研究実績にあるように、タイプAの（あるいはタイプB/Cの）permutahedronに付随したトーリック多様体のコホモロジーのS_n（あるいはO_n）表現の、既約分解をSchur-Weyl双対性の視点から見直すアイデアを得て、そこに時間を費やした。シューベルト係数の組み合わせ論的表示をクリスタル構造を使って求めるアイデアは、少なくともタイプAでは、背景にSchur-Weyl双対性があることも知られているため、本課題に有意義な研究結果を得られていると考えている。

Strategy for Future Research Activity

最終年度なので、今ある研究結果を着実に論文にして発表することに時間を使う。一方で、シューベルト係数を計算する文脈で、type B/Cのクリスタル構造を具体的に計算する課題を、できる限り推し進めたい。

Causes of Carryover

子育てなどの事情で、海外への出張が難しかった。今年度は、研究発表も兼ねて、出張の計画を実行したい。