2020 Fiscal Year Research-status Report
Theory of framed curves, framed surfaces and its applications
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20K03573
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| Research Institution | Muroran Institute of Technology |
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Principal Investigator |
高橋 雅朋 室蘭工業大学, 大学院工学研究科, 准教授 (80431302)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 特異点論 / 枠付き曲線 / 枠付き曲面 / 縮閉線 / 伸開線 / 等積アファイン曲線 / ベルトラン曲線 / 移動曲面 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
枠付き曲線、曲付き曲面論の構築とその応用として、
１．３次元球面内の枠付き曲面の微分幾何学的性質を調べました。特に、ルジャンドル双対性だけでなく、枠付き曲面として付随する球面内の全ての曲面が枠付き基本曲面になる条件として、内在的曲率が0である曲面に対して、特異点の条件を研究しました。
２．平面内の等積アファイン曲線論の構築を行いました。特に、退化した正則曲線や特異点を許容する等積アファイン曲線を扱うために等積アファイン枠付き曲線を導入し、付随する曲率により、等積アファイン枠付き曲線の存在と一意性を証明しました。また、等積アファイン枠付き曲線に対して、並行曲線、縮閉線、伸開線を定式化し、特異点をもつ条件を求め、ユークリッド平面内の曲線（フロント）との違いを明らかにしました。
３．４次元ユークリッド空間内のベルトラン曲線の研究を行いました。正則曲線に対して、フルネ型の場合は、ベルトラン曲線は存在しないことが知られています。そこで、枠付き曲線に対して、ベルトラン曲線となるための必要十分条件を求めました。この場合、例がたくさん存在することが分かりました。さらに、枠付き曲線として考えると正則曲線の場合でもベルトラン曲線が存在することが分かりました。
４．枠付き曲線論と枠付き曲面論を用いることにより、特異点を許容する移動曲面の研究を行いました。移動曲面は曲線の和であり、表示式に制限があるため、ある種の特異点が現れないことが分かります。特異点の型を特異点の判定法と枠付き曲線の曲率を用い求めました。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
令和２年度の研究として、枠付き曲線、曲面の応用として、３次元球面内の枠付き曲面、等積アファイン曲線、ベルトラン曲線の研究を行えたが、予定をしていた４次元ユークリッド空間内の曲面論の構築が進まなかった。理由としては、新型コロナウィルスの関係で国内外における出張ができず共同研究が進まなかったことや研究の時間確保ができなかったことが大きい。
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| Strategy for Future Research Activity |
現在までの研究をまとめ論文投稿する予定である。また、４次元ユークリッド空間の曲面論の構築、４次元ユークリッド空間内のマンハイム曲線の研究、３次元ミンコフスキー空間内の曲線の研究を行います。そのため、可能であれば、研究集会やセミナー等に参加し、意見交換・研究打ち合わせを行い、研究を推進します。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウィルスのため、国内外の出張ができなかったため次年度使用額が生じました。
使用計画として、必要な機材や図書の整備として物品費の支出、研究集会への参加、共同研究、研究打ち合わせ等の旅費の支出を計上いたします。
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