2022 Fiscal Year Research-status Report
Theory of framed curves, framed surfaces and its applications
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20K03573
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| Research Institution | Muroran Institute of Technology |
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Principal Investigator |
高橋 雅朋 室蘭工業大学, 大学院工学研究科, 教授 (80431302)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 特異点論 / 微分幾何学 / 枠付き曲線 / 枠付き曲面 / ルジャンドル曲線 / 光的枠 / ローレンツ・ミンコフスキー空間 / 四頂点定理 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
枠付き曲線、枠付き曲面の構築とその応用として、
１．３次元ユークリッド空間内の特異点を持つ曲面として、枠付き曲面の理論と一径数付けられた枠付き曲線の理論があり、その関係性の研究を行いましたが、これら２つ理論を含む特異点を持つ曲面として、一般枠付き曲面の定義を与えました。一般枠付き曲面に対して基本不変量を導入し、基本不変量に対する存在性と一意性定理を与えました。また、一般枠付き曲面と枠付き曲面、一径数付けられた枠付き曲線との関係性の研究を行いました。さらに、局所的に曲面が一般枠付き曲面になるための必要十分条件やそのもとで枠付き曲面になるための必要十分条件を与えました。特に、余階数２の例や余階数１の曲面は局所的には一般枠付き曲面であることを示しました。
２．枠付き曲面論の応用として、３次元ローレンツ・ミンコフスキー空間内の型変化と特異点を許容する曲面の定義を光的枠を用いることで与えました。光的枠付き曲面に対して基本不変量を導入し、基本不変量に対する存在性と一意性定理を証明しました。
３．枠付き曲線論の応用として、４次元ローレンツ・ミンコフスキー空間内の型変化と特異点を許容する曲線の定義を光的枠を用いて２つのタイプで与えました。タイプ１の光的枠付き曲線とタイプ２の光的枠付き曲線に対して、曲率を導入し、曲率に対する存在性と一意性定理を証明しました。また、その２つのタイプの関係性の研究を行いました。
４．ルジャンドル曲線論の応用として、ルジャンドル曲線（フロンタル）の四頂点定理の条件をルジャンドル曲線の曲率の条件、特異点の条件、ルジャンドル曲線の凸性の条件により与えました。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
令和４年度の研究として、枠付き曲線、枠付き曲面の構築とその応用として、新たに３次元ユークリッド空間内の一般枠付き曲面、３次元ローレンツ・ミンコフスキー空間内の曲面論、４次元ローレンツ・ミンコフスキー空間内の曲線論、ユークリッド平面内のルジャンドル曲線の四頂点定理の研究を行えたため、計画に通り、かつ計画に無かった新たな部分も進展しており、本研究課題は、おおむね順調に進展していると言える。
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| Strategy for Future Research Activity |
現在までの研究をまとめ論文投稿する予定である。今後の研究として、出来ていなかった、枠付き曲面の焦面の研究、４次元ユークリッド空間内の枠付き曲面の研究の継続、ローレンツ・ミンコフスキー空間内の曲線、曲面論の構築の研究を行います。そのため、国内外の研究集会やセミナー等に参加し、意見交換・研究打合せを行い、研究を推進します。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウィルスのため、１０月頃から国内出張は出来たが、国外の出張ができなかったため次年度使用額が生じました。
使用計画として、必要な機材や図書の整備として物品費の支出、研究集会への参加、共同研究、研究打ち合わせ等の旅費の支出を計上いたします。
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