平面への安定写像と折り目リフトの組を用いた3次元トポロジーの研究

2020 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 20K03574
• Research Institution: Hirosaki University
• Principal Investigator: 山本 稔 弘前大学, 教育学部, 准教授 (40435475)
• Project Period (FY): 2020-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: 折り目写像 / レンズ空間 / 安定写像 / リフト

Outline of Annual Research Achievements

2020年度はまず，レンズ空間L(4,1)から3次元空間への折り目写像で，特異点集合が2つの2次元球面になるものを構成した．次にこの折り目写像に類似の折り目写像をさらに2種類用意する，これら3種類の折り目写像のコピーを，順序よく適切な位置で切り貼りすることで，特異点集合がいずれも2つの2次元球面になるような，レンズ空間L(p,p-3)から3次元空間への折り目写像の族を構成した（ただし，pとp-3は互いに素である）．ここで，残り2種類の折り目写像もレンズ空間L(4,1)からの折り目写像になっているか，なっていた場合は3種類とも折り目ホモトピックであるかどうかは未確認である．
これらレンズ空間L(p,p-3)から3次元空間への折り目写像を構成するために，「モーションピクチャー」と呼ばれる手法を用いた．まず，3次元空間への折り目写像を平面と直線への写像に射影する．直線上の一点に対し，逆像を調べる．そして直線上の点を動かすことで，断面の変化を追跡する，以上の観察を丹念に行うことで，具体例が構成できた．
さらに2020年度は，このレンズ空間L(p,p-3)から3次元空間への折り目写像の族と，以前構成したレンズ空間L(p,p-1)からの折り目写像の族という具体例をもとにし，平面への安定写像が3次元空間への折り目写像にリフトするための条件を考察した．この考察においてもモーションピクチャーを利用し，まずは局所的なリフト可能性について考察した．そして今回はいくつかの局所型において，リフトするための条件を得た．

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

レンズ空間L(4,1)から3次元空間への折り目写像の構成に時間がかかってしまった．加えて，L(p,p-3)から3次元空間への折り目写像の族の構成に一般化することにも時間を費やしてしまった．しかしこれらの折り目写像の構成は，ここ5年間取り組んでいた問題であったため，大きな進展であった．
この，L(p,p-3)から3次元空間への折り目写像の族の構成に2020年度は時間を費やしたため，平面への安定写像を3次元空間への折り目写像にリフトする研究の方は，局所的なリフト可能性をすべて調べるところまではいかず，いくつかの場合において条件を得るにとどまってしまった．．

Strategy for Future Research Activity

まずは，2020年度の続きとして平面への安定写像が3次元空間への折り目写像に，局所的にリフトするための条件を全て考察する．この考察をもとに，安定写像が折り目写像に大域的にリフトするための条件を考察する．
この研究と並行し，次の3つの研究も行う．1つはL(p,p-3)からの折り目写像の構成のために構成した，3種の折り目写像のうち，2種類がレンズ空間L(4,1)からの折り目写像になっているか，なっていた場合は3種類とも折り目ホモトピックであるかどうかの確認である．2つ目は，L(p,p-5)から3次元空間への折り目写像で，特異点集合が2つの2次元球面からなる族の構成である（ただしpとp-5は互いに素）．3つ目は，3次元球面から3次元空間への折り目写像で，特異点集合が2つの2次元球面からなるものから，特異点集合が1つの2次元球面であるような折り目写像へのジェネリックホモトピーの構成である．これら3つの研究は，3次元空間への安定写像を平面への安定写像を用いて具体的に記述するため，モーションピクチャーを用いたリフトの研究の土台となる，さらに平面への安定写像のジェネリックホモトピーと，リフトした3次元空間への折り目写像の折り目ホモトピーの間の関連性という考察にも繋がる．

Causes of Carryover

新型コロナウイルスの影響で，旅費が使用できなかったため，次年度使用額が生じた．
2021年度も新型コロナウイルスの影響はまだ続き，旅費の使用は難しいと予想される．トポロジー関連書籍や関連論文は継続して購入する（文献複写を含む）．加えて，オンラインでの研究打合せを円滑に行うため，ディスプレイやPC，タブレットなどPC環境を整えることを計画している．