2022 Fiscal Year Research-status Report
Algebra and geometry of Banach algebras and function spaces-topological approach
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20K03577
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
川村 一宏 筑波大学, 数理物質系, 教授 (40204771)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | バナッハ環 / 安定次数 / Interval exchanger / 線形作用素の力学系 / カオス |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1.前年度に引き続き、有限次元コンパクト距離空間上のバナッハバンドルの切断バナッハ環の次数評価を行った。前年度得たホモトピー的安定化次数に引き続き、概念的により位相次元に近い次数-位相的安定次数(topological stable rank)及び実次数(real rank)-の評価を行った。この結果を得るにあたって、幾何学的トポロジーの概念および研究手法を活用したところに本研究の特色がある。
２．有限型を持つシフト写像に付随するC^*環(crossed product)の研究を一般化射影極限のシフト写像に拡張する試みに着手した。そのための最初のステップとして、Interval exchange transformationが、「非周期的」であるなら、閉区間上の適当な上半連続関数のなす一般化射影極限上のシフト写像と位相共役であることを証明した。これは筆者がJ. Kennedy氏と共同で得た結果の一つを一般化している。この結果によってInterval Exchange Transformationに付随するC^*環の性質を研究するための手法を、一般化射影極限のシフト写像に付随するC^*環の研究に応用するための糸口ができたと考えている。
３．無限次元バナッハ空間上の有界線形写像の力学系に関する研究に着手し、特に合成作用素の位相推移性およびカオス性について考察した。無限treeの双曲的グラフ同型写像はtreeの理想境界上に位相同型写像を誘導する。境界上に自然に定まる測度に関するL^p空間に上の位相同型写像が誘導する合成作用素はfrequently hypercylicであることを証明した。この結果はPavoneによる1992年の結果を強めている。一方で全ての双曲同型写像から定まる合成作用素に共通するhypercyclicベクトルは存在しないことを示した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
前年度に比べてバナッハバンドルについての次数評価において進展があったが、依然として自分が「手に取って扱える」C＾*環のクラスが少ないという研究上の弱点を克服していない。位相力学系に付随するC^*環に関する取扱いは極めて不十分なものに留まっている。また線形作用素の力学系についての研究をようやく着手することができたが、現在の所、既存の結果を応用して得られるものを大きく超える結果・現象を見いだせていない。
この2点が遅れていると判断する理由である。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度は１）位相力学系、特に一般化射影極限のシフト写像、に付随するC^*環の構造をよりよく理解する ２）無限次元空間上の線形作用素の力学系、特にその双曲性・構造安定性及びエルゴード性について、合成作用素やシフト写像など具体的な力学系に対して詳細に調べることを目標とする。運営業務に大きな時間を取られているが、オンライン研究集会やオンラインジャーナル、データベースを活用することによって、情報を取得しまた研究者との研究交流を行う。経費はそういった環境を整備するために使用予定である。
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| Causes of Carryover |
コロナ禍であったことに加えて、運営業務に大きな時間を取られて、予定した研究集会が開催できず、また研究交流・情報収集のために出張することがかなわなかったため。
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