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20K03579
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| Research Institution | Shinshu University |
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Principal Investigator |
玉木 大 信州大学, 学術研究院理学系, 教授 (10252058)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | Hopf algebra / model category / algebraic K-theory |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は, Khovanov により導入されたホモロジー代数の一般化である Hopfological algebraに対し, ホモロジー代数で開発され用いられてきた手法を使えるようすることである。現在では, ホモロジー代数の枠組みとしてホモトピー代数が有効であることが分かっているため, 交付申請書では, 現代的なホモトピー代数の手法を用いることを計画した。2020年度は, そのホモトピー代数の手法の内, まずモデル圏を用いて Khovanov やその後の Hopfological algebra の研究結果をフォーミュレートし直すことを試みた。
Hopfological algebra とは, 有限次元Hopf代数H上の加群代数Aに対し, H同変A加群を, dg 代数上の加群の類似とみなし, 三角圏などのホモロジー代数的手法を用いて研究する手法であるが, 三角圏は, 通常ある圏の「ホモトピー圏」として定義される。その際, ホモトピー圏を取る前の段階では, 安定モデル圏の構造があることが多い。Khovanov は, H同変A加群の圏にもホモトピーの概念が定義され, そのホモトピー圏が三角圏になることを示しているが, H同変A加群の圏そのものがモデル圏の構造を持っていることが期待される。
また, 現代的なホモロジー代数において重要な不変量である代数的K理論を定義するためには, 「有限生成射影的加群」の類似が必要であるが, そのような対象は, 適当なモデル構造に関するコンパクト cofibrant 対象として特徴付けられることが多い。
2020年度は, まず Hopfological algebra を, H上の加群代数から H上の加群圏Cに一般化した。そして, H同変C加群の圏にホモロジー代数の場合を一般化するモデル圏の構造を定義することに成功した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
交付申請書では, 5つの目標が挙げられ, その中で, 目標1は4つの項目, 目標2は3つの項目, 目標3は2つの項目, 目標4は2つの項目, そして目標5は1つの項目から成る。
目標1は, 有限次元Hopf代数H上の加群代数Aに対し, Hの作用を考慮した代数的K理論を定義しその性質を調べることが目的であった。4つの項目の内,
最初の2つが代数的K理論を定義することであったが, それは2020年度の研究により, 加群代数より一般化した加群圏に対し定義された。残り2つは, その代数的K理論の性質を調べることであるが, それは2021年度以降に行う。
目標2は, 加群代数Aに対し, Hの作用を考慮した巡回ホモロジー群を定義することが目的だったが, 目標1の代数的K理論を構成する過程で, モデル圏の構造を用いて Waldhausen 圏が定義されたため, それに対し標準的な構成を行なうことで, 巡回ホモロジーが得られる。よって目標2も, 2020年度に完了した。
目標3は, 目標1と目標2で構成した代数的K理論と巡回ホモロジーの間にトレース写像を定義し, その性質を調べることが目的だったが, トレース写像は標準的な方法で構成できることは確認している。その性質を調べることは, 2021年度以降に行なう。目標4, 5についても2021年度以降の研究課題とする。
以上のことから, 交付申請書で目標として挙げた内容の内1/4以上のことが達成されたと判断した。
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| Strategy for Future Research Activity |
2021年度以降では, 交付申請書に書いた目標1の内 (3) と (4), 目標3の内 (2), 目標4と目標5を目指して研究を行なう。ただし, 2020年度の研究で目標1の代数的K理論の構成を行なった過程で, 新たに判明した事実があるので, それに従って, 目標1の(3) を修正する。
目標1の (3) は, 代数的K理論を定義するために使うことのできるモデル構造の比較であったが, 2020年度の研究では, 直接モデル構造を定義したのではなく, 2つの cotorsion pair から成る Hovey triple を構成し, それに Hovey のAbel圏のモデル構造の理論を適用してモデル構造を得た。Hovey の理論により, 加群の圏のようなAbel圏のモデル構造は全て cotorsion pair により定まっていることが知られているため, より本質的なのは cotorsion pair である。そして, 極く最近 Sarazola により, cotorsion pair からモデル構造を経ないで, 直接代数的K理論を定義する方法が提案された。以上のことから, 目標1の(3) では, Hopfological algebra のための代数的K理論を定義するために使うことのできる cotorsioin pair を比較する, ということを課題とする。
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| Causes of Carryover |
当初の計画では, 研究者を招聘したり研究者を訪問したりして研究を進めるため, 全体の約 3/4 を旅費に充てていた。しかしながら, 新型コロナウイルスの感染が拡大し, 海外への渡航や海外からの研究者の招聘が不可能になった。更に, 2020年度前半は, 日本国内の移動も難しく, 国内の研究者を訪問したり招聘したりすることもできなかった。その結果, 2021年度に繰り越さざるを得なくなった。
2021年度も人の移動は制限されるため, 旅費として使うことは難しいが, 情報収集のために図書を購入したり, またオンラインでの研究活動を補助する器具を購入することに用いたい。
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