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20K03579
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| Research Institution | Shinshu University |
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Principal Investigator |
玉木 大 信州大学, 学術研究院理学系, 教授 (10252058)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | model category / algebraic K-theory / cotorsion pair |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は, 有限次元 Hopf 代数 H と, H 上の (左) 加群代数 A に対し, H同変 A加群の圏のホモロジー代数的性質を, ホモトピー論的手法により調べることである。ここで, ホモトピー論的手法とは, モデル圏や ∞-圏の構造を考えることを意味する。また, ホモロジー代数的性質とは, Hochschildホモロジーや代数的 K 理論などを調べることを意味する。
その最初の段階として, 2020年度はモデル圏の構造を構成した。次の段階として, 2021年度は, Hochschild ホモロジーなどの, ホモロジー代数的不変量を考察した。代数的 K理論は, 現代的には Waldhausen 圏から S-構成という手法により構成されるため, Hochschild ホモロジーなども Waldhausen 圏から定義したものを用いるべきである。よって, まず行なうべきことは, 2020年度に定義したモデル圏の構造から Waldhausen 圏を構成することであるが, これについては, 2020年に出版された Sarazola の論文でより一般的な形で行なわれていることが判明した。本研究で, 2020年度に構成したモデル構造は cotorsion pair という代数的構造によるものであったが, Sarazola は, 一般に cotorsion pair から Waldhausen 圏が構成できることを示している。
これによりホモロジー代数的不変量は構成された。また McCarthy が通常の代数の代数的K理論に対し trace map を構成した手法を用いることにより, それらの間の trace map も得られた。
また, 加群代数を余加群代数に変えたものについて, 研究を行なったが, まだ完成していない。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
交付申請書では, 5つの目標が挙げられ, その中で, 目標1は4つの項目, 目標2は3つの項目, 目標3は2つの項目, 目標4は2つの項目, そして目標5は1つの項目か ら成る。
目標1は, 有限次元Hopf代数H上の加群代数Aに対し, Hの作用を考慮した代数的K理論を定義しその性質を調べることが目的であった。4つの項目の内, 最初の2つがWaldhausen 圏を構成することにより代数的K理論を定義することであったが, それは2021年度までの研究により, 完成した。3つ目は, Hochschild ホモロジーや巡回ホモロジーなどとの関係であるが, それも2021年度の研究で行なわれた。残り1つは, その代数的K理論の性質を調べることであるが, それは2022年度以降に行う。
目標2は, 加群代数Aに対し, Hの作用を考慮した巡回ホモロジー群を定義することが目的だったが, 目標1の代数的K理論を構成する過程で, cotorsion pair が構成され, Sarazola の結果を用いることによりそこから Waldhausen 圏が得られるため, 巡回ホモロジーが得られる。よって目標2も完了している。 目標3は, 目標1と目標2で構成した代数的K理論と巡回ホモロジーの間にトレース写像を定義し, その性質を調べることが目的だったが, それも終了している。その性質を調べることを, 2021年度に行なうことを計画していたが, まだ興味深い結果は得られていない。目標5は加群代数を余加群代数に変えたものを考察することが目的であったが, それについて2021年度に研究し, 目標1と同等のことが成り立つこと確証を得たが, まだ論文としては完成していない。目標4については, 2022年度以降の研究課題とする。
目標5が未達成であることから, やや遅れているとした。
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| Strategy for Future Research Activity |
2022年度は, 交付申請書で挙げた目標の内, 目標5をまず達成することを最大の目標として研究を行なう。その理由は, 交付申請書作成時には気がつかなかった, 余加群代数の用途に気がついたことにある。ホモロジー代数の一般化として, 本研究の主題は, Khovanov により提唱された Hopfological algebra であるが, 他に鎖複体を一般化する方法としては, N-complex というものがある。N-complex も Hopf algebra を用いて表すことができるが, その Hopf algebra は有限次元ではないため, 加群代数を用いた Khovanov らの手法は使えない。それを余加群代数を用いることにより克服できそうであることに気がついたため, まずはその研究を行なう。すなわち, 余加群代数上の同変加群の圏に cotorsion pair を構成し, それによりモデル圏が得られることを示す。また, そこから得られるWaldhausen圏のHochschildホモロジーや代数的K理論について調べる。
残りの目標として, 目標1の (4) と目標3があるが, 目標1の (4) については, 目標5と平行して2021年度に研究する。目標3については, 2023年度に行なうこととする。
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| Causes of Carryover |
当初の計画では, 研究者を招聘したり, 研究者を訪問したりすることを想定していた。また, 本研究に関連した研究者は海外に多いため, 海外から研究者を招いたり, 海外の研究者を訪問したりすることを考え, 約3/4を旅費に充てる計画だった。しかしながら, 2021年度も新型コロナウィルスの感染が続き, 海外との行き来が難しい状況が続いた。更に, 国内の出張も行なうことが難しかった。
2022年度は, 国内の移動は可能になりそうであるが, 研究集会等をオンラインで行なうことが一般的になり, 旅費の支出は計画より減ることは確実である。また, 引き続き海外との交流が容易ではない状況は続きそうでである。
そのため, 2022年度は, 情報収集の方法として図書の購入を中心とし, それに加えてオンラインでの研究活動を補助する機器を購入することにも本助成金を用いる。
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