2020 Fiscal Year Research-status Report
Index theorem relevant to the invariants of diffeomorphism groups
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20K03580
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
森吉 仁志 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (00239708)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 指数定理 / 非可換幾何 / K理論 / 巡回コホモロジー / Alexander-Spanier コホモロジー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は「非可換幾何学の枠組による指数定理の拡張」と「微分同相群の不変量が関与する指数定理の展開」を目標としており，2020年度は以下の成果を得た：１）Ginsparg-Wilson 指数が関与する指数定理（夏目利一との共同研究）；２）多面体に対する Gauss-Bonnet 定理と Alexander-Spanier コホモロジーに関する研究；３）等質中心アファイン平面曲線のなす空間の研究（黒瀬俊および藤岡敦との共同研究）．
１）では，ランダムウォークの一般化と考えられる量子ウォークを用いて，Ginsparg-Wilson 指数が関与する具体例を見出した．各有理整数に2次行列環を対応させるという状況下で定まる量子ウォークにおいて，離散的なフレドホルム作用素が定義される．一方，適切な設定の下にC*環を構成すると，この作用素に対する Ginsparg-Wilson 指数を考えることができる．このとき，フレドホルム指数が Ginsparg-Wilson 指数と一致することを確認した．２）では， Alexander-Spanier コホモロジーを用いて，閉多様体の写像度集合の性質への応用例を見出した．３）では，等質中心アファイン曲線のなす空間に対する考察をさらに深め，等質中心とは限らない種々のアファイン曲線のなす空間を導入し，これらの空間上にシンプレクティック作用を構成した．これらの作用に関しても，単位円周の微分同相群から得られる Bott-Virasoro群との関連性について，一定の成果を得た．
これらの成果は，発表を予定していた研究集会（第44回 伊豆トポロジーセミナーなど）の開催中止や開催形態変更のため発表報告が難しくなっているが，今後機会を捉えて行う予定である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
4: Progress in research has been delayed.
Reason
2020年度は本研究の開始年度であり，本研究目的に関連して「有界コホモロジー等の微分同相群の不変量と指数定理の関連」を探る研究を進展させる予定であった．しかしながら，新型コロナウイルス感染症の感染拡大の影響により，研究集会の開催中止や開催規模の縮小が行われたため，2020年度内の講演や研究連絡を延期せざるを得ず，計画遂行のための科研費使用に関して大幅な困難が生じた．現在のところ，完成直前まで進行している等質中心アファイン平面曲線のなす空間の研究
（黒瀬俊および藤岡敦との共同研究）に関しては，この空間上のシンプレクティック作用に対する運動量写像を発見したことで Bott-Virasoro群との関連が明確になっている．この共同研究は，今年度には一定の成果に到達できる予定である．
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| Strategy for Future Research Activity |
先に述べたように，新型コロナウイルス感染症の感染拡大の影響により研究の進展が大幅に遅れている．2021年度には，１）Ginsparg-Wilson 指数が関与する指数定理（夏目利一との共同研究）；２）多面体に対する Gauss-Bonnet 定理と Alexander-Spanier コホモロジーに関する研究；
をさらに進展させて，一定の成果が得られる水準にまで到達して成果報告を行うことを目標とする．さらに３）等質中心アファイン平面曲線のなす空間の研究；に関しては，黒瀬俊および藤岡敦との研究連絡を密に行って，論文を完成させる．
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| Causes of Carryover |
次年度使用額が生じた理由は，新型コロナウイルス感染症の感染拡大の影響により，研究集会の開催中止や開催規模の縮小が行われたため，旅費使用額が大幅に減少したことである．
2021年度以降も，この状況が改善されるかどうかは不明であるが，研究集会への参加方法を工夫したり研究連絡をより密接に行うことで，翌年度分として請求した助成金と合わせた使用計画の達成を図る．
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