Zeta functions for Kaehler magnetic fields

2020 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 20K03581
• Research Institution: Nagoya Institute of Technology
• Principal Investigator: 足立 俊明 名古屋工業大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (60191855)
• Project Period (FY): 2020-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: 可換な隣接作用素 / 頂点推移的 / 積グラフ

Outline of Annual Research Achievements

一般に、多様体の離散モデルとしてグラフがあげられ、頂点での位数が曲率を意味すると捉えると、定曲率空間に対応するものが正則グラフであり、階数1の対称空間に対応するものが2部グラフである、とする考え方がある。一方、等長写像に対応してグラフ同型写像を考え、頂点での様子が一様である頂点推移的グラフという、グラフとしてはより強い条件を課したものを等質空間に対応する、という考え方もある。この研究では後者の立場に立って、階数1の対称空間の球面平均作用素が対称であることに注目して、主グラフと補助グラフの隣接作用素が可換である頂点推移的ケーラーグラフを複素対称空間の離散モデルの候補としてまず考えることにした。この時まず重要であるのは具体例が常に構成できるかという点である。コンパクト複素多様体に対応させるために頂点数が偶数の有限グラフが必要だと考えられ、これまで構成できていなかった頂点数が４の倍数で主グラフと補助グラフの位数が奇数でその差が４の倍数に２を加えた形のものを、今回の研究で構成でき、更に、位数差が４の倍数の時に特殊の構成を考えていたものも一般に取り扱うことができることを示すことができた。
また、ケーラーグラフ上の2色彩道を考えたとき、その逆向きの道は2色彩道ではないが、隣接作用素の可換性により逆向きに対応する2色彩道を対応させることができる。この対応は1意的に定まるものではないが、長さはどの対応でも同じであることからゼータ関数を考える上では問題が生じない。そこで対応を1つ定めることで2色彩道による有向グラフから無向グラフが誘導されることがわかり、このグラフに対するゼータ関数を定義できることがわかった。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

本年度は研究のスタート段階として、複素対称空間に対応するグラフの候補を国際研究集会などで提案して、対称空間・グラフ理論などの専門家から意見を伺い今後の方向性の確認を行う予定であった。しかし新型コロナウィルスの影響で海外渡航が不可能になっただけではなく、国内研究集会も全てオンライン開催となってしまった。成果発表という形ではなく、試行錯誤で対象を明確にしていくことを考えており、ある種一方的な説明というわけではないので、オンラインでの対応が難しく、研究者独自の感覚だけに頼った対象の指定となっている。見方に偏りがあるきらいがないではないが、隣接作用素の可換性が逆向きの２色彩道と本来の２色彩道との関係を表すことになり、考察の方向性を定めることにはなった。今年度の考察では、この立場での具体例の構成方法を確立することができた。
また、実超曲面上の佐々木磁場に関してはZoomを利用して包女史(内蒙古民族大学)や石青松講師(貴州大学)と連絡を取ることで考察の糸口を見いだすことに成功している。以上の観点でレビューを受けるという面では全く実施できなかったが、研究自体はそれなりに進展させることができたのでこの判断とした。

Strategy for Future Research Activity

感染症の影響で対面での討議の機会が失われ研究の方向性に影を与えられているが、可能な限りオンライン討議でカバーし、現時点では予定されている幾何学シンポジウム(札幌)の機会に情報収集を行い考察を進める予定である。今年度の研究により、主グラフと補助グラフの隣接作用素が可換であれば2色彩道とその逆向きとを対応させることができて、2色彩道による無向グラフを考えることができた。次の段階として、このグラフのL関数を定義するためには、グラフの基本群の表現を考えることになるが、ケーラーグラフの場合、補助辺を含めた基本群は主辺のみによる基本群との関係が不明確のため不適切であると考えられる。そこで２色彩道とその逆向きに対応する彩道との合成が自明になるような群を考える必要があると思われる。このような関係式を導き出すことを2021年度の第１の目標とする。一方、連続モデルである佐々木磁場に関しては、A型超曲面を含む接触多様体上で考えることにして、まず佐々木空間形と呼ばれる対称性がある程度あるものを取り扱うことにする。この時、全ての方向を考えるのではなく特性ベクトル場と直交する方向に対してのみ考えるということに着目したいと考えている。
なお、今年度に得られた対称性が高いケーラーグラフについて論文にまとめて投稿することにする。

Causes of Carryover

研究レビューを受ける機会としていた国際研究集会ICDG2020が新型コロナウィルスの影響で中止となり、また日本数学会や幾何学シンポジウムに参加してその機会に他の見方など意見を伺う予定であったが、研究集会を含めて全てZoom開催となり、感染症の現状を考えると個人的に訪問して討議させてもらうのもはばかられたため、旅費を全く使用できなかった。現在の感染症の状況を考えると次年度も国際研究集会はもちろんのこと国内の集会も開催されるのは難しいと思われる。レビューを受けるという面を除いては考察自体はそれなりに進展を見ていることから、今回分は３年目以降の成果の中間発表および報告集での発表に振り替えざるを得ないと考える。