2021 Fiscal Year Research-status Report
Zeta functions for Kaehler magnetic fields
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20K03581
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| Research Institution | Nagoya Institute of Technology |
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Principal Investigator |
足立 俊明 名古屋工業大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (60191855)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 井原型ゼータ関数 / 正規ケーラーグラフ / 隣接作用素 / 佐々木磁場 / ルジャンドル軌道 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ケーラー多様体の離散モデルとして、2つの辺構造を持つケーラーグラフを挙げることができ、複素空間形上の球面平均化作用素の性質を踏まえて、昨年度の考察で、正則でありかつ主辺による隣接作用素と補助辺による隣接作用素とが可換になる正規ケーラーグラフが等質空間の離散モデルと考えられることが分かっていた。今年度は、このようなケーラーグラフに対して定義される井原型ゼータ関数の性質を調べた。可換性から主辺と補助辺との組み合わせでできる2色彩道の集合に同値関係を定めることができ、これにより誘導された正則グラフに対して井原ゼータ関数の性質を適用することで、正規ケーラーグラフに対して、井原型ゼータ関数の有理性と関数等式とを示すことに成功した。この関数は力学系的な性質を持つ通常のゼータ関数とは有理性でも少し異なる性質を示している。また、ケーラーグラフに対して上述の同値関係を踏まえた基本群に相当する群を定義することができ、2色彩道の集合に同値関係を精密化することで、この群の表現に関する L 関数についても同様の考察を行った。
一方、連続モデルに関しては、ケーラー多様体の超曲面上にケーラー多様体の複素構造から概接触計量構造が導入されるが、構成方法から接触構造に関連した佐々木磁場の軌道はケーラー磁場の軌道と対応関係があると考えられる。そこで、まず佐々木空間形と呼ばれる接触構造で定まる接平面の断面曲率が一定である多様体について、特に速度ベクトルと加速度ベクトルが接触構造で定まる接平面を構成するルジャンドル軌道について、閉軌道の長さが数直線上にどのように分布するか、重複度の漸近挙動はどうなるかを初等整数論を応用して調べた
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
前年度に感染症の影響で研究初年度として国際研究集会などを通じて研究のレビューを受けたり情報収集したりすることができず研究の方向性を確認できなかったために、当初の予定では、今年度はそれを挽回するはずであった。しかし感染症の影響は長引き、国際研究集会のみならず幾何学シンポジウムや日本数学会なども中止に追い込まれ，他の国内研究集会もオンラインとなった。このため研究者にとって若干手薄な代数的観点からの対称空間のゼータ関数の考察についての情報収集および軌道の考察への適用という面でかなりの遅れを生じている。
一方、離散モデルであるケーラーグラフに関しては、井原型ゼータ関数の有理性や関数等式についての結果が得られ、更に、隣接作用素の可換性を利用してケーラーグラフの基本群に相当する物を定義することができ、グラフ上の２色彩道と呼ばれる主辺と補助辺とから構成される道について同値関係の精密な考察を行うことでL関数を定められ、更にその性質を調べるという成果を得ることができた。この点で予定よりもかなり進展している。従って、研究内容の面から見ると、ある側面では遅れが見られ別の側面ではかなりの進展が得られたことになる。
当初予定していたヨーロッパの研究者との交流は、相手国での通信環境や時差の関係からオンラインでも無理があるが、石青松講師(貴州大学)や包図雅教授(内蒙古民族大学)といった中国の研究者とはZoomにより頻繁に打ち合わせを行い、佐々木磁場の軌道に関しではある程度の進展が見られ、現在その一部分について論文にまとめる作業を行っている。
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| Strategy for Future Research Activity |
感染症の影響で対面での討議の機会が失われ，特に対称空間に関する情報収集が遅れて研究の方向性に影を与えられている。そこで今年度は，前年度の考察で様子がある程度判明してきた複素空間形内の等質実超曲面という等質空間に対象を絞って考察を進めることにする。
等質実超曲面上の佐々木磁場の軌道と外側の空間である複素空間形上のケーラー磁場の軌道との関係を考察する。まず、佐々木磁場の軌道で外側の空間ではケーラー磁場の軌道になっている物はどの程度存在するのか。A型実超曲面では特性ベクトル場と軌道とが常に一定の角を成し，更に形作用素の共変微分の形が分かっているので、佐々木磁場の軌道の合同性をそれらから得られる不変量を使って表現して、不変量で分類して調べることにする。更に、ケーラー磁場の軌道の方から見た場合に，対応する佐々木時に軌道はどの程度あるのかも考察して，軌道のモジュライ空間の間の写像の性質として捉えたい。次に、前年度に佐々木空間形という特別な実超曲面で特性ベクトル場と直交するルジャンドル軌道についてその長さを考察したが、今年度は複素空間形内の測地球面の場合に、ルジャンドル軌道と測地線との関係についてその力学系をホップ写像を通して考察を行い、複素空間形のケーラー磁場の軌道と測地線と関係と対比することにする。これらの考察過程においては、石青松講師(貴州大学)や包図雅教授(内蒙古民族大学)とも Zoom を用いて討議を行う予定である。
今後の感染症の状況で不透明ではあるが、幾何学シンポジウムや日本数学会などの機会を通して対蹠空間のゼータ関数に関する情報収集を行い次年度につなげたい。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウィルスの影響で、日本数学会や幾何学シンポジウムが中止となったことをはじめ、県をまたいだ出張の自粛等の影響で、特に対称空間に関する基本的な内容から先端までの情報を得る機会を失い、予定していた旅費としての使用が全くなかった。Zoom 等のオンライン手段を活用することで少しはカバーされているが、オンライン手法はある程度方向性が定まった段階では有用であるが、研究方向の成否がよく見えない段階での議論には余り向いていないように思われ、研究の遅れにつながっている。
まだ感染症が収まっておらず急速な研究スピードの回復は難しいと思われる。そこで研究の順序を若干変更して、前年度までの考察である程度手がかりが得られている部分を、石青松講師(貴州大学)とZoom 連絡を通すなどして議論することで集中的に行うこととし、研究期間の途中時点ではあるが期間の延長も視野に入れて着実に取り組みたい
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Research Products
(5 results)
