2021 Fiscal Year Research-status Report
Study of quantum cohomology and periods using tropical geometry
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20K03582
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
入谷 寛 京都大学, 理学研究科, 教授 (20448400)
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2020-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 量子コホモロジー / ミラー対称性 / 周期 / トロピカル幾何 / 同変コホモロジー / フーリエ変換 / グロモフ・ウィッテン不変量 / ガンマ類 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は量子コホモロジーにおけるガンマ整構造の起源を理解し，ミラー側の周期との関係をトロピカル幾何を通じて理解することを目標としている．
昨年度に引き続き，量子コホモロジーに対するガンマ予想を量子微分方程式のフーリエ変換を用いて記述する研究を進めた．この研究については現在論文を執筆中である．また同変量子コホモロジーにおける同変パラメータのシフト作用素の研究を進めた．ガンマ整構造はガンマ関数に付随する「ガンマ類」によって定義されるが，シフト作用素はガンマ関数の満たす差分方程式と関係しており，ガンマ整構造をある意味で不変に保っている．この研究が進めば，(同変)量子コホモロジーに対するガンマ予想や関手性に関する応用があると期待している．
量子コホモロジーとガンマ類に関する論説を執筆した．この論説では量子コホモロジーの形式的分解がガンマ整構造を通じて位相的K群の半直交分解を誘導する，というガンマ予想の一般化（三田・社本予想）に焦点を当てた．特に，多様体をある部分多様体に沿って爆発させた多様体の量子コホモロジーを，元の多様体と爆発の中心である部分多様体の量子コホモロジーから再構成する方法を（予想として）与えた．この方法はガンマ整構造を用いて記述され，再構成はリーマン・ヒルベルト問題の解として与えられる．
また代数学シンポジウムではガンマ予想とトロピカル幾何に関する招待講演を行い，その報告集においてトロピカル幾何を用いた周期の計算に関する論説を執筆した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度は量子コホモロジーとガンマ構造に関する論説の執筆に取り組み，その中で爆発の量子コホモロジーに関する予想を正確に定式化するなどの成果が得られた．また同変量子コホモロジーのシフト作用素に関する理解が進展し，新たな応用が強く期待される．
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| Strategy for Future Research Activity |
同変量子コホモロジーにおけるシフト作用素の研究をさらに進めていく．この研究は量子コホモロジーの関手性や（同変）量子コホモロジーにおけるガンマ予想など様々な方向に応用が期待できる．またトロピカル幾何を用いた周期・指数周期の計算や，量子K理論に対するガンマ構造の研究も同時に進めていきたい．
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| Causes of Carryover |
初年度は新型コロナ感染症の影響で予定していた出張や海外からの研究者招へいができず40万近くの次年度使用額が生じた．2年目となるR3年度も新型コロナ感染症の影響が続いたが，主に研究員雇用に用いることでほぼ当初の予定額を使用した．今回生じた次年度使用額はほぼ初年度に使い残した分を引き継いだものである．R4年度については海外出張及び規模の大きい国際研究集会を予定しており，そのために使用する計画である．
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