2022 Fiscal Year Annual Research Report
Study of quantum cohomology and periods using tropical geometry
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20K03582
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
入谷 寛 京都大学, 理学研究科, 教授 (20448400)
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2020-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 量子コホモロジー / ミラー対称性 / 周期 / トロピカル幾何 / フーリエ変換 / 同変コホモロジー / グロモフ・ウィッテン不変量 / ガンマ類 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は量子コホモロジーにおけるガンマ整構造の起源をトロピカル幾何の手法に基づき解明し，また量子コホモロジーのガンマ予想や関手性を調べることである．
本研究期間全体を通じて，量子コホモロジー（D加群）の双有理変換の下での関手性およびその分解の構造に対する理解が深まった．また研究手法としてフーリエ変換が重要な役割を果たした．
トーリック軌道体の非クレパントな変換の下で量子コホモロジーがどのように分解されるかを調べ，雑誌SIGMAで発表した．この論文では，特にトーリック軌道体の重み付き爆発の場合には，量子コホモロジーの分解がガンマ整構造を通じてOrlovによる導来圏の半直交分解から誘導されることを示した．この論文で示した結果に動機づけられて，多様体を滑らかな中心に沿って爆発したとき量子コホモロジーがどう変化するかについての一般的な予想を与えた．この予想によれば，爆発の量子コホモロジーは元の多様体の量子コホモロジーと爆発の中心の量子コホモロジーからある種のリーマン・ヒルベルト問題を解くことにより与えられる．
またKlemm氏らの物理学者のグループにより予想されていたファインマン積分の漸近挙動を数学的に証明し，雑誌ATMPで発表した．この結果はガンマ予想をフーリエ変換することにより得られる．この結果に触発されて，より一般にファノ多様体とその標準束の全空間として得られるカラビ・ヤウ多様体に対するガンマ予想の関係を調べた．
最終年度は量子コホモロジーD加群の分解についての研究を行った．厚東裕紀氏との研究により（非分裂型を含む一般の）射影束に対するミラー定理を証明し，射影束の量子コホモロジーD加群が底空間の量子コホモロジーD加群の直和に分解することを証明した．
またトロピカル幾何を用いた周期の計算に関する論説を執筆し，量子コホモロジーD加群の分解に関して国際数学者会議で招待講演を行った．
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