2020 Fiscal Year Research-status Report
Complementary study on dynamical systems and foliations using methods of partially ordered set and general topology
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20K03583
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| Research Institution | Kyoto University of Education |
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Principal Investigator |
横山 知郎 京都教育大学, 教育学部, 准教授 (30613179)
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2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 力学系 / トポロジー / 半順序 / 葉層構造 / 位相不変量 / 遷移グラフ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
これまで力学系理論において，どのような流れがジェネリックかという問題や構造安定であるかという問題は活発に研究されてきた．特に，低次元の力学系に対して位相不変量を構成することにより，その分類が行われている．他方，表現が良くないと，調べたい対象の位相不変量の計算が困難となる場合がある．そこで，具体的な流体現象の解析をするために，流れの位相不変量の表現で，計算に適したものを構成する必要がある．そのため，具体的な流体現象なども効率的に解析できるような計算機上で実装可能な流れの位相不変量の表現を構成することは，理論的にも応用的にも解決すべき課題である．特に，本研究課題は，より良い位相不変量を構成し，計算機上の実装に適した表現を構成することを目的としている．
学術的な問いとして，(1) 流れの位相不変量の精密化，(2) より広いクラスの力学系に適用できる位相不変量の構成，(3) 有限的に表現されていない位相不変量の有限的な表現への縮約，(4) 流れの位相不変量の計算に適した表現の構成，(5) 流れの位相不変量を用いた遷移グラフの構成，(6) 遷移グラフを用いた力学系のトポロジカルな解析，を中心に扱う．
本年度は，初年度として，穴あき球面上のHamilton流の既存の流れの位相不変量を精密化した．特に，境界とセンターを区別するような精密な位相不変量の表現を構成した．他方，Morse-Smale流の遷移を記述する基礎として，Morse-Smale流に似た流れを特徴付けをするための基礎を整備し，その途中経過をモスクワ大学のセミナーで報告した．さらに，高次元の位相不変量の構成の基礎となる力学系と半順序構造の関係について，その途中経過をApplied Algebraic Topology Research Network Talk Seriesで報告した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
前述のように穴あき球面上のHamilton流の位相不変量を精密化した．特に，既存のものは境界とセンターを区別しないような位相不変量であったが，新しく改良したものは境界とセンターを区別するものとなっている．さらに，その表現を計算機上の実装に適した表現に精密化した．また，流れの一般的な生成消滅と表現の対応や，表現と遷移規則の対応を明らかにし，その遷移規則の関係を用いて遷移グラフを自動生成するアルゴリズムを構成した．
他方，コンパクト曲面上の流れの重要なクラスである勾配流とその一般化のMorse-Smale流について，その遷移グラフを構成するには，Morse-Smale流をトポロジカルに特徴付ける必要がある．実際，コンパクト曲面上のMorse-Smale流は摂動しても不変であるという構造安定性を有することが知られている．そのため，Morse-Smale流の時間発展などを記述するためには，Morse-Smale流でない流れを経由して，Morse-Smale流の変化は記述される．よって，Morse-Smale流の遷移を記述するには，一般的な中間状態の流れを記述する必要があり，そのためにはMorse-Smale流をトポロジカルに特徴づけることが必要であった．そこで，Morse-Smale流とその一般的な中間状態の流れのトポロジカルな特徴づけの基礎を整備し，その成果を国内外で報告した．
他方，既存の流れの位相不変量や空間の構造を利用して，一般次元の多様体上の流れの位相不変量を構成することは大きな問題である．特に，流れを勾配部分と再起的な部分に分けられることを示したConley理論に基づいて構成されたMorseグラフや，流れの解析に使われている空間の構造であるReebグラフやCW複体構造を用いて一般次元の多様体上の流れの不変量を発展させることは大きな課題である．
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでの進捗を踏まえて，以下の研究を進めていく．(1) コンパクトな穴あき球面上のHamilton流の位相不変量を発展させ，境界の貼り合わせ構造を順序構造として付与することにより，コンパクト曲面上のHamilton流の位相不変量に拡張する，(2) コンパクトな穴あき球面上のHamilton流の位相不変量の構成を非有界な場合について拡張する，(3) コンパクトな穴あき球面上のHamilton流の位相不変量の生成する遷移グラフの構成を非有界な場合について拡張する，(4) 一般次元の多様体上の流れについて，新しいクラスを分類できるような流れの位相不変量を構築する，(5) コンパクト曲面の勾配流のトポロジカルな特徴づけを行う，(6) 曲面上のさまざまな流れのトポロジカルな特徴づけを用いて，流れを葉層構造とみなすことにより，3次元多様体上の流れが"余次元が2に近い"という性質を特徴付ける．
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| Causes of Carryover |
国内外の出張が執行できず，それにともない旅費や関連する経費の執行が次年度に生じた．出張が執行可能になったら，旅費などの関連する予算を執行する．出張ができない場合は，研究計画を執行するために代替手段として，オンラインを活用するための基盤などを整備する．
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