Complex structures and non-Kaehler structures on compact solvmanifolds

2020 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 20K03586
• Research Institution: Shimane University
• Principal Investigator: 山田 拓身 島根大学, 学術研究院理工学系, 教授 (40403117)
• Project Period (FY): 2020-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: リー群 / リー環 / 等質空間 / 可解多様体 / 旗多様体 / 複素構造 / 非退化２次形式

Outline of Annual Research Achievements

ある種のベキ零多様体と旗多様体の複素構造を関連付けることができた。ベキ零リー群の左不変複素構造はその商空間であるベキ零多様体上の複素構造を誘導し、また対応するベキ零リー環の複素構造と一対一に対応する。一方、旗多様体は特に簡約多様体であるので、各点の接空間は対応するリー環の部分ベクトル空間と同一視することができる。旗多様体の不変複素構造は, 各点での接空間の複素化の固有空間分解を与えるので、対応するリー環の複素化における固有空間をできるが、特に複素構造における固有値iに対応する固有空間はベキ零リー環となる。これによりある種のベキ零多様体の複素構造が、旗多様体の複素構造と関連付けることができた。これを用いることにより, ある種のベキ零多様体の不変な複素構造全体と旗多様体の(複素構造を取り替えた場合の）擬ケーラー計量の指数の分布を関連づけることができた。また旗多様体上の複素構造の関連から、さらにルート系やTルート系などを用いてある種のベキ零多様体上の複素構造を調べることができることを示した。これによりワイルの小部屋やディンキン図形の対称性から、ある種のベキ零多様体の複素構造を考えた場合のホッジ数のある種の対称性を系列的に示すことができた。このようにベキ零多様体の複素構造を旗多様体やルート系、Tルート系と結びつけることができたことは、更なるベキ零多様体の複素構造の研究や非ケーラー構造を持つ例の構成に結びつく可能性があり、大変重要である。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

ベキ零多様体の複素構造を旗多様体嬢の複素構造、特にその際に用いるルート系、Tルート系と結びつけることができたことにより、更なるベキ零多様体の複素構造や非ケーラー構造を持つ例の構成などの研究に結びつく可能性があり、順調に研究が進んでいる

Strategy for Future Research Activity

ベキ零多様体の場合には、さらに旗多様体、ルート系などとの関連により、詳しく研究していくことが期待できる。ベキ零多様体でない、可解多様体に関しては現在知られている具体例を一般化する、あるいは他の次元の低い例を構成するなど具体例を用いて研究を推進していく。ベキ零多様体ほど研究手法がないため、最新お文献等の調査を行なっていく必要がある。

Causes of Carryover

コロナの影響で研究集会がインターネット上で行われることとなったり、研究打ち合わせや情報交換もインターネット上で行ったため、主に旅費が必要なくなったため次年度使用額が生じた。今年度はインターネットにおける情報交換が行なすい環境の整備や、時期を選んでの対面による研究打ち合わせに使用予定である。