2023 Fiscal Year Research-status Report

Complex structures and non-Kaehler structures on compact solvmanifolds

Research Project

Project/Area Number	20K03586
Research Institution	Shimane University
Principal Investigator	山田拓身島根大学, 学術研究院理工学系, 教授 (40403117)
Project Period (FY)	2020-04-01 – 2025-03-31
Keywords	リー群 / リー環 / 等質空間 / 可解リー群 / 余コンパクト離散部分群 / 可解多様体 / 左不変複素構造 / 非ケーラー構造
Outline of Annual Research Achievements	令和4年度には楕円曲面の場合を参考とし、複数の余コンパクト離散部分群を持つ可解リー群の例を構成したが、令和5年度は構成した可解多様体において、その上の複素構造と非ケーラー構造について結果が得られた。詳しく述べると、次の問いに対する一定の結果が得られた。(1)左不変な複素構造を１つ固定した可解リー群はその余コンパクト離散部分群により、複素幾何的性質はどのように変わりうるか、また離散部分群を変えてできる複素多様体の各々の関係はどうなるか。(2)可解リー群において離散部分群を一つ固定した時に複素構造の取り替えることによってどのような複素幾何的性質の差が出るか。この問いに関して、複素幾何的性質については、ホッジ数やm-種数、標準束の正則切断の具体的形、正則シンプレクティック構造や擬ケーラー構造の存在、非存在、関係については被覆関係について得られた例について結果が得られた。この際に非ケーラー構造を持ちて、ベクトル場と微分形式を関連づけることを用いた。例えば、微分同相であるが、一つは複素平行化可能な複素可解多様体であり、もう一つは複素平行化可能でない複素可解多様体であり、この一方から一方への有限被覆写像がある例などが構成できた。このように令和4年度、5年度はベキ零多様体でなく、複素可解多様体に関する結果が得られた。調査としては、令和4年度は位相群やリー群の調査を行ったが、令和5年度は井上曲面、特に一番簡単な井上曲面などの複素曲面について調査をし、令和６年度の研究準備も行えた。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 令和４年度に構成した可解多様体上の複素構造、非ケーラー構造について予定通り研究が進んだため。
Strategy for Future Research Activity	令和4年度は1940年代のChevalleyらの研究結果、令和5年度は井上らの1970年代の研究結果が役に立ったため、出張等で最新の研究成果だけでなく、1950年代、60年代の研究成果も調査することで、研究を推進していく。これにより研究の総まとめを行う。
Causes of Carryover	令和５年度は出張をほぼ計画通り行ったが、令和４年度前半までコロナの影響があり、国内外の出張が少なかったため。令和６年度は情報収集、研究成果報告を行い、予算を使用していく。