2021 Fiscal Year Research-status Report
Orderings in 3-manifold groups and Heegaard Floer L-spaces
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20K03587
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
寺垣内 政一 広島大学, 人間社会科学研究科(教), 教授 (80236984)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 共役ねじれ元 / L空間結び目 / 形式的半群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
３次元多様体の基本群において，非自明な元が共役ねじれ元であるとは，その元の共役をいくつか掛け合わせることで，単位元を生成できるときをいう．特に，結び目群に含まれる共役ねじれ元の探求を行った．まず，任意に高い種数の双曲的結び目であり，その結び目群に共役ねじれ元が含まれるものを構成した．これまでに知られていたものは，種数１の結び目だけであった．この結果は国際学術雑誌に受理され，現在，印刷中である．オンラインでは既に公表されている．次に，任意に高い橋指数を持つ双曲的結び目であり，その結び目群に共役ねじれ元が含まれるものを構成した．上述の論文で構成した結び目がその候補ではあったが，証明には至らなかった．そこで，ねじれトーラス結び目の族の中から，新たに双曲的であり，しかもその結び目群に共役ねじれ元が含まれるものを構成した．この結果は国際学術雑誌に既に受理されている．
結び目群に限らず，閉３次元多様体の基本群に対しても，共役ねじれ元の存在は課題となる．基本群の階数が２より大きい場合のそのような例は知られていなかった．今年度の研究において，任意に高い階数の基本群を持つ双曲的３次元多様体であり，その基本群に共役ねじれ元が含まれるものを構成した．この結果は国際学術雑誌に投稿し，審査段階にある．
デーン手術によって，L空間を生み出すことのできる結び目をL空間結び目とよぶ．そのような結び目に対して，アレキサンダー多項式から形式的半群が定義される．これまで形式的半群が実際に半群になっている双曲的L空間結び目は知られていなかった．そのような結び目を発見し，さらに半群の階数が５である無限系列を構成した．この結果は国際学術雑誌に投稿し，審査段階にある．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
本年度，受理された論文が3本あり，現在，審査中の論文が2本ある．また，オンラインではあるが，国際会議，セミナーでの研究発表を2回，国内の学会・セミナーでの研究発表を３回実施した．
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| Strategy for Future Research Activity |
引き続き，L空間結び目の形式的半群について考察を行いたい．任意に階数の高い半群をもつものが存在すると予想する．一方で，レンズ空間結び目の場合，その形式的半群は演算に関して閉じていないと予想され，バーギ結び目のほとんどの族に対してその確認を終えている．残された２つの族について確認を行いたい．
また，結び目群に含まれる共役ねじれ元について，その位数という概念がある．任意に高い位数を持つ共役ねじれ元の存在は，先行研究のない未知の課題だが，安定交換子長を利用して，位数の評価ができると考えている．
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| Causes of Carryover |
コロナ禍のため，今年度も全ての学会，研究集会がオンライン開催となり，予定していた旅費の使用ができなかった．次年度も感染状況については予断を許さないが，可能な限り，学会等に対面で出席したい．
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