2022 Fiscal Year Research-status Report
Orderings in 3-manifold groups and Heegaard Floer L-spaces
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20K03587
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
寺垣内 政一 広島大学, 人間社会科学研究科(教), 教授 (80236984)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 共役ねじれ元 / ウプシロン不変量 / L空間結び目 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
3次元多様体の基本群において，非自明な元が共役ねじれ元であるとは，その元の共役をいくつか掛け合わせることによって単位元を生成できるときをいう．また，単位元を生成するために必要となる共役の最小個数を，その共役ねじれ元の位数とよぶ．その定義から，位数は２以上となる．共役ねじれ元の位数の関する研究はほとんどなく，以前に研究代表者が共同研究の中で，安定交換子長を用いた位数の評価を与えたのが唯一といってよい．
今年度は，まず結び目群の場合に，位数２の共役ねじれ元を含むための必要十分条件を与えた．それは，結び目の外部のトーラス分解の構造で決定され，偶数型のトーラス結び目空間か偶数型のケーブル空間を含む場合に限ることが示された．この帰結として，双曲結び目の結び目群には，位数２の共役ねじれ元は存在しないことがわかる．この結果は国内の学術雑誌にすでに受理されている．
次に，上述の結果を一般の3次元多様体の基本群に拡張した．こちらもトーラス分解の構造が鍵となった．位数２の共役ねじれ元が存在するのは，トーラス分解においてザイフェルト多様体が含まれており，そのザイフェルト多様体のファイブレーションが向き付け不可能な曲面を底空間にもつか，指数が偶数の例外ファイバーをもつときである．さらに，位数２の共役ねじれ元の分類まで行った．この結果は共著論文としてまとめ，国際学術雑誌に投稿中である．
へガード・フレア・ホモロジー理論において，結び目のコンコーダンス不変量として定義されたウプシロン不変量というものがある．アレキサンダー多項式は異なるが，ウプシロン不変量が一致する双曲的L空間結び目の組を無限に生成することに成功した．また，ウプシロン不変量から逆にアレキサンダー多項式が復元できる双曲的L空間結び目を発見した．この結果は単著論文としてまとめ，国際学術雑誌に投稿中である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
学術雑誌に受理された論文が１つ，国際学術雑誌に投稿中の論文が４つある．また，国内の研究集会で2回，国内で開催された国際研究集会で1回の発表を行った．
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度に引き続き，結び目のウプシロン不変量について研究を進めたい．ウプシロン不変量は，L空間結び目に限らない場合，結び目フレア複体から定義される．最近，概L空間結び目という概念が導入され，その結び目フレア複体の構造が明らかになりつつある．これを利用して，L空間結び目と類似したウプシロン不変量の性質を明らかにしたい．
今年度の研究に関連して，新たに次のような問題の着想を得た．双曲的L空間結び目に対して，アレキサンダー多項式の重複する例が１つも見つかっていない．また，双曲的L空間結び目とトーラス結び目の間でも同様の重複は見つかっていない．いずれも否定的ではないかと予想するので，引き続き取り組みたい．
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| Causes of Carryover |
コロナ禍により予定していた海外渡航ができなかったことが理由である．次年度は，すでにメキシコでの国際研究集会での招待講演が予定されているため，残額を生じることなく，使用できる予定である．
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