2020 Fiscal Year Research-status Report

リーマン多様体の局所等長埋め込み問題に現れる可積分条件と不変式

Research Project

Project/Area Number	20K03589
Research Institution	Hiroshima University
Principal Investigator	阿賀岡芳夫広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 名誉教授 (50192894)
Co-Investigator(Kenkyū-buntansha)	澁谷一博広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 准教授 (00569832) 奥田隆幸広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 講師 (40725131) 田丸博士大阪市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (50306982) 橋永貴弘北九州工業高等専門学校, 生産デザイン工学科, 講師 (40772132)
Project Period (FY)	2020-04-01 – 2023-03-31
Keywords	リーマン多様体 / 等長埋め込み / 定曲率空間 / 表現論 / 不変式 / プレシズム
Outline of Annual Research Achievements	１．研究分担者の一人である橋永貴弘氏との共同研究により、３次元リーマン多様体が４次元ユークリッド空間へ局所等長に埋め込めるための必要十分条件が generic な場合に既に得られている。その手法を拡張することにより、同じく３次元リーマン多様体が４次元定曲率空間へ局所等長埋め込み可能となるための必要十分条件を内在的不変量を用いて表示することができた。具体的な３次元リーマン多様体への応用が次に取り組むべき課題である。４次元ユークリッド空間への埋め込み問題に増して、豊富な結果が得られることが期待される。２．４次元リーマン多様体を６次元ユークリッド空間に局所等長に埋め込む問題に関して、私の過去の研究により曲率からなるある種の不変式が消滅しなくてはいけないことが分かっていたが、その後この問題に関しては進展がなかった。この問題に関して、リベルツ氏が独自の考察を行い、ガウス方程式の逆公式に相当するある種のアルゴリズムを見出したが、その手法を表現論的に再解釈することにより、問題状況を整備した。まだ具体的な成果が得られる段階には至れていないが、この問題に関して相当有望な手掛かりが得られた状況にあると言ってよい。３．等長埋め込み問題に直結する課題には見えないかもしれないが、表現論において plethysm と呼ばれているある種の合成積の分解公式を知ることは、本研究を側面から支える重要な課題の一つである。その plethysm の一つである、対称ｍ次形式上の３次多項式空間の既約分解に関して、その分解状況を示す母関数を具体的に求めることに成功した。これに関しては既にある種の公式が知られているのだが、今回得られたものはそれとは別種の、更なる一般化が見込める類の公式である。本研究を間接的に支える成果といってよく、更なる拡張が期待される。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 大学を定年退職したため、比較的自由に与えられた時間を研究にあてることができ、本研究の多様な課題に一つ一つ時間をかけて取り組むことができた。この先に長年の課題であった表現論上の困難な問題が待ち受けているが、その困難を突破するための手法を蓄積することができたので、研究はおおむね順調に進展しているといってよい。
Strategy for Future Research Activity	「研究実績の概要」で述べた諸課題に引き続き取り組む予定でいる。またそれら以外にも、交付申請書に記した課題（可積分条件を不変式を用いて表現すること、微分方程式が解を持つための障害を求めること、それらを具体的なリーマン多様体に応用すること等）にも、順次取り組む予定でいる。
Causes of Carryover	コロナ禍のため、私の関与する研究集会等は本年度は全てオンラインでの実施となった。そのため次年度使用額が生じた。現時点ではまだ見通せない部分があるが、研究者との意見交換は本来対面で行うことが不可欠なので、出張が可能となり次第、そのための旅費として使用する予定でいる。