2022 Fiscal Year Annual Research Report
リーマン多様体の局所等長埋め込み問題に現れる可積分条件と不変式
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20K03589
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
阿賀岡 芳夫 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 名誉教授 (50192894)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
澁谷 一博 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 准教授 (00569832)
奥田 隆幸 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 准教授 (40725131)
田丸 博士 大阪公立大学, 大学院理学研究科, 教授 (50306982)
橋永 貴弘 佐賀大学, 教育学部, 准教授 (40772132)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 局所等長埋め込み / 不変式 / 曲率 / 左不変計量 / 定曲率空間 / plethysm |
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| Outline of Annual Research Achievements |
１.３次元リーマン多様体が４次元定曲率空間に局所等長的に埋め込めるための必要十分条件は曲率がgenericな条件を満たす場合には昨年度までの研究により求められていた。その応用として、３次元リー群上の左不変計量で４次元定曲率空間に局所等長埋め込み可能となるものをgenericな場合にすべて求めていたが、更にgenericでない場合についても新たな方法を駆使して全て求めることに成功した。計量が左不変であることにより、特異性を示す条件式が恒等的に０になる性質を利用し、これを微分して得られる式とコダッチ方程式を連立させて解くことによりこの結果が得られた。これによりリー群上の左不変計量に関しては全面的に問題が解決したことになるが、今後更に話を拡張して、一般の３次元等質空間の場合について局所等長埋め込み可能な空間を全て求め、分類問題を完成させる予定でいる。これにより、１９７０年代に高橋恒郎氏、高木亮一氏らによって完成されていた大域的な場合の分類問題の局所版が完成することになる。この項は研究分担者の橋永氏との共同研究である。
２.plethysmの分解公式の研究について。曲率の不変式環の構造を調べるための基礎研究としてplethysmの分解公式を得ることは重要な課題であるが、まだ端緒がついた程度の結果しか知られていなかった。全面解決に向けて、まず空間の次元が２次元の場合（この場合は、Cayley-Sylvesterの公式により問題は解決済）の結果を母関数の形に表示し直し、その結果、無限和である母関数が整った形に因数分解されることを発見した。同様の公式は次元が高い場合にも存在していると思われ、その母関数の分解公式を得ることが次の課題となる。まだ問題解決には時間を要するであろうが、今回重要な一歩を踏み出すことができた。この問題については、研究期間終了後も取り組み続ける予定でいる。
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