微分可能写像の特異点理論と部分多様体の幾何のインタフェイス

2023 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 20K03594
• Research Institution: Seikei University
• Principal Investigator: 高瀬 将道 成蹊大学, 理工学部, 教授 (30447718)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 渡邉 忠之 京都大学, 理学研究科, 准教授 (70467447)
• Project Period (FY): 2020-04-01 – 2025-03-31
• Keywords: 位相幾何学

Outline of Annual Research Achievements

引き続き、微分可能写像の特異点理論を用いて、高次元結び目、滑らかな高余次元結び目、ＣＲ正則埋め込み、ＣＲ正則はめ込み、ｔｏｔａｌｌｙ ｒｅａｌな埋め込み、ｔｏｔａｌｌｙ ｒｅａｌなはめ込み、三角数の研究などを含む広い意味の部分多様体の研究を行い、深化させた。とりわけ、三角数の研究にはエネルギーを注ぎ、理解が相当深まった。
本年度は特に、「ＧａｕｓｓのＥｕｒｅｋａ ｔｈｅｏｒｅｍ」の位相幾何学的証明の研究に集中した。最後の一箇所だと思われる部分を、あと少し、あと少しという感触を持ち続けながら、ここ２、３年考えているが突破できていないからである。研究の過程では様々な事柄をつつきながら糸口を探しているが、例えば、「２つの２次元球面のブーケ」の３次ホモトピー群には各２次元球面への射影は自明だがそれ自体は非自明である写像によって表される元があるが、この元を表す具体的な写像についてはよく分からず、このような写像を構成する作業に時間を費やしている。これ自体は面白い問題だと思われるので、小テーマとして引き続き研究している。
この研究は「任意の向きづけ可能な微分可能４次元多様体は一つ穴を穿つと６次元ユークリッド空間に滑らかに埋め込める」ということに４、５年前に気づき、このことを端緒にして、「４次元多様体から６次元ユークリッド空間への埋め込み」と「３次元球面から６次元球面の滑らかな埋め込み」と「ＧａｕｓｓのＥｕｒｅｋａ ｔｈｅｏｒｅｍ」の関係の研究を始めたという経緯がある。

Current Status of Research Progress

4: Progress in research has been delayed.

Reason

コロナ禍で研究スタイルが変わってしまったこともありまだ完全にはペースを取り戻せていないことに加え、特定の問題に大きな関心を持ち、それに時間とエネルギーを全投入してしまったことから、今後期待される成果のタイミングが大幅に後ろにずれてしまっているため。

Strategy for Future Research Activity

ペースを取り戻し、現在の問題に益々傾注することに加え、時に新たな視点や課題を見つけるべく、国内外の研究者との交流の機会を持つ。現時点では京都大学への出張を３回または４回、北海道大学と信州大学への出張を各１回行うことを計画しており、その出張旅費に充てる予定である。

Causes of Carryover

前年度の研究の進捗が悪かったため繰り越しを行った。研究者間交流の回数を増やすなど、研究のペースを上げることにより、翌年度分として請求した助成金と合わせて順調な支出を行く計画である。