2022 Fiscal Year Annual Research Report
| Project/Area Number |
20K03597
|
|---|
| Research Institution | Kindai University |
|---|
Principal Investigator |
池田 徹 近畿大学, 理工学部, 教授 (00325408)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2023-03-31
|
| Keywords | 空間グラフ / 対称性 / ３次元多様体 / デーン手術 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題は，抽象グラフの対称性と３次元球面への空間埋め込みとの関係を，３次元トポロジーの理論を用いて調べることを目標としている。研究期間全体では，以下の３点について研究を行った。特に、最終年度は３点目の研究を中心に行った。
１点目は，グラフの対称性の３次元球面への空間埋め込みによる実現である。４次直交群の有限部分群で与えられる対称性を考え，グラフの構造や対称性を与える有限群に対して普遍的な方法を得ることを目標とした。グラフ上の有限群作用をグラフをコアとするハンドル体のダブルに拡張し，同変デーン手術によって３次元球面上の作用で不変な空間埋め込みを得る方法を確立した。
２点目は，３次元多様体の対称性の枠つき絡み目の対称性による表現である。３次元多様体上の向きを反転する有限巡回群作用の特異集合は，特異絡み目，特異曲面および孤立特異点で構成される。先行研究による整数係数の同変デーン手術を用いた特異絡み目の解消・生成方法に加え，本研究では整数係数または半整数係数の同変デーン手術を用いた特異曲面の圧縮方法を確立した。そして，任意の３次元多様体の向きを反転する巡回対称性は，基本的３次元多様体に設定した３種類の対称性モデルのいずれかで記述できることを示した。
３点目は，グラフの対称性の３次元球面への空間埋め込みによる実現の双曲化である。３次特殊直交群の有限部分群で与えられる対称性を考え，３次元球面上の標準的線形作用のもとで実現の可能性を調べることを目標とした。その準備として，向き付け可能閉連結３次元多様体上の向きを保つ有限群作用に対して，与えられた特異集合を持ち，与えられたオイラー標数の条件を満たし，集合として不変な双曲的空間グラフの存在を示した。そして，１点目の成果と組み合わせることにより，グラフの対称性の実現の双曲化可能条件を明らかにした。
|
